Помощ

Версия за печат

 

Теория

 

 

 

Kвадратът на всяка страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни намалена с удвоеното произведение на тези страни и косинуса на ъгъла между тях.

 

а 2 = b 2 + c 2 – 2 bc. cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2ac.cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab.cos γ

Доказателство:

Нека са дадени а, b и γ. Да се изрази с чрез а, b и γ.

Построяваме височината АН. От триъгълникът АНС следва АН = b. sin γ

СН = b.cos γ

 
Разглеждаме правоъгълният ΔАВН и прилагаме за него питагорова теорема

c 2 = (a – b.cos γ) 2 + (b.cosγ) 2

c 2 = a 2 – 2ab.cos γ + b 2(sin 2γ + cos 2γ)

от основното тригонометрично тъждество sin 2 γ + cos 2 γ = 1 =>

c 2 = a 2+ b 2 – 2ab.cos γ

Чрез косинусова теорема можем бързо и лесно да намери ъглите на триъгълник по дадени трите му страни:

; ;

По този начин може да се определи и вида на триъгълника – остроъгълен, ако стойността на косинуса е положителна, правоъгълен , ако cos γ= 0 и тъпоъгълен, ако cos γ < 0.

Следствие:

Сборът от квадратите на страните на един успоредник е равен на сбора от квадратите на дисгоналите.

2 a 2 + 2b 2 = d 1 2 + d 22

Доказателство: Прилагаме косинусова теорема за Δ ABD и ΔА DС спрямо d 1 и d 2 , ако ВАD = α.

d 12 = a 2 + b 2 – 2ab.cos(180 o – α ), cos α = cos(180 oα)

d 2 2 = a 2 + b 2 – 2ab.cos α

Почленно събираме двете страни и получаваме

d 12 + d 2 2 = 2 a 2 + 2b 2

Тригонометрични
Таблици

Анимации:

Калкулатор

Точни стойност на Косинуса

Функция на косинуса

Музика:   


                            

Забавление