Полезни
формули:

   Pn=n!

Версия за печат

Помощ

 

Теория

 

 

 

1. Историческа справка
2. Множества
3. Комбинации
4. Теория на вероятностите

Историческа справка
Елементи на комбинаториката са известни от дълбока древност. Някои известни математици оставили трудове по комбинаторика са:

Николо Фонтана ( Тартария) род 1500 в Бершиа – поч. 14.12.1557г във Венеция. Поради крайната си бедност като момче е принуден да краде книги, за да се научи да чете. След това се издига постепенно до частен учител, изчислител и професор във Венеция. Освен някои елементи на комбинаториката той намира и метод за изчисляване на кубичното уравнениеот вида х 3 + аха b = 0.

Блез Паскал род.19.06.1623 в Клермон Феран – поч. 19.08.1663 в Париж. Обучаван от баща си в детска възраст. През 1641 построява първата известна сметачна машина. От същата година се присъединява към янсенистите и живота му е определен от фанатична религиозна вяра. Паскал и Ферма се считат за създателите на теорията на вероятностите. Паскал първи използва термина “Комбинация”. Блез Паскал има и философски съчинения.

Пиер дьо Ферма род. 17.08.1601 в Бомон дьо Ломаж – поч.12.01.1665г в Кастр. Син на търговец на кожи. Следва право, след което купува място на съветник в Тулузкия парламент през 1630г. Умира неочаквано при служебно пътуване. За неговите изследвания в областта на математиката се съди от писмата му до Паскал. Той се счита за един от създателите на аналитичната геометрия.

Готфрид Вилхелм Лайбниц, род.1.07.1646 в Лайпциг – в семейство на професор, поч.14.11.1716г. в Хановер. Следва философия в Лайпциг от 1661, от 1664 – право и защитава докторска дисертация през 1667 в Алтдорф близо до Нюрнберг. През 1672 г. е натоварен с политическа мисия и заминава за Париж където се занимава изключително с математика. Енциклопедист. Написаният от него “Трактат на комбинаторното смятане” - 1666 се счита за първия цялостен труд в тази област.

Якоб Бернули, род.27.12.1654г. в Базел – поч.16.08.1705г. в Базел. Следвайки теология той тайно изучава математика. В “Изкуство на предположенията” са поставени основите на теория на вероятностите. Бернули е първият математик, който разбира и доразвива смятането на Лайбниц. В свои труд от 1713, той затвърждава понятията “пермутация”, “вариация”, въведени за пръв път от белгийският математик Такс през 1656г.

Кристиян Крамп – въвежда означението факториел през 1808г. (1.2.3.4..... n = n!)

Множества
Най показателни примери са множествата от числата – естествените числа – N = ; целите числа – Z = ;

Като пример може да даден и учениците от един клас А =

Определение: Множества, които имат краен брой елементи, се наричат “крайни”. Например: множеството от учениците в един клас.

Множества, които имат неизброим брой елементи, се наричат “безкрайни”. Например множествата от числата.

Множество, което няма нито един елемент се нарича “празно” и се отбелязва с .

Две множества са равни, ако съдържат едни същи елементи.

Едно множество А е подмножество на множеството В, ако в множетвото В участват всички елементи на множеството А.

Множества, които имат общи елементи се наричат пресичащи се.

Множества, които нямат общи елементи се наричат непресичащи се. .

Ако , то може да образуваме разликата им С = В – А

Ако множеството С се състой от елементи на множествата А и В, то С е обединение на А и В. И се записва .

Теореми: Нека А и В са крайни множетсва

Съединения:

Пример: Ако е дадено едно множество

А = и множеството , то новото множетсво В се нарича съединение.

Множеството В е съединение на 7 елемента от втори клас.

Правила:

-За събиране на съединения. Ако елемент х може да се избере по n различни начина, а елемент y по m , то изборът на x или y може да се извърши по n + m начина.

-За умножение на съединения. Ако елемент х може да се избере по n различни начина и при всеки такъв избор елемент y може да се ибере по m различни начина, то изборът на ( x , y ) може да се извърши по n . m начина.

Комбинации

За да покажем разликата между пермутация, вариация и комбинация, ще направим интерпретация на една задача:

1) Пет съученика Ани, Борис, Васил, Иван и Мария посетили един много интересен филм за които едва си купили билети. Иван купил билетите и те влезли заедно като местата били точно отпределени. По колко различни начина могат да седнат.

2) Пет съученика Ани, Борис, Васил, Иван и Мария имали свободен час и решили да влезат да гледат филм, които очевидно не се радвал на голям интерес. Писнали ги в киното като им казали, че 3 ред целият е свободен. По колко различни начина могат да седнат съучениците, ако се знае, че реда се състой от 12 стола.

3) От група от 12 ученика трябва да изберем 5. По колко различни начина могат да се изберат.

При записването на формулите, ще използваме понятието факториел – това е произведението от първите n естествени числа. Озн. n! = 1.2.3.4….. n. Дефинираме 0! = 1.

Пермутация – подреждане на дадени различни елементи. Тя може да е с повторение и без повторение. Тук ще разгледаме само без повторение

Pn=n!

Решението на зад. 1 е Р5= 5! = 1.2.3.4.5 = 120

Вариация на n елемента от k клас се нарича всяка подредба на k члена от различни елементи. Вариацията също може да е с или без повторение. Тук разглеждаме само без повторение.

Решение на 2 зад.

Комбинация на n елементи от k клас е всяко подмножество с k елемента от дадените n елемента, като реда на елементите не е от значение. Комбинация има с и без повторение. Тук ще разгледаме без повторение. Формулата е:

Решение на 3 зад.

Теория на вероятностите

Всяко действие което осъшествяваме има вероятност да е успешно или неуспешно.

Самото действие ще наричаме събитие.

Събитие което винаги настъпва се нарича достоверно или сигурно, а когато никога не се случва – невъзможно.

Събитие което може да се случи, а може и да се случи, се нарича случайно.

Всяко подмножество А на пълната система от елементарни събития Ω се нарича случайно събитие или само събитие.

Две събития са съвместими, ако могат да се сбъднат при провеждането на един и същи опит.

Две събития са несъвместими, ако в рамките на един опит сбъдването на едното изключва сбъдването на другото.

Обединение на две събития А и В

А

В

С

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Сечение на две събития А и В

А

В

С

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Основна задача в теорията на вероятностите е на всяко случайно събитие да се съпостави число, което оценява степента на възможност то да се сбъдне. Числото се нарича вероятност на случайно събитие.

Елементарен изход, при който настъпва интересъващо ни събитие, се нарича благоприятен изход.

Вероятността да се появи едно събитие се изчислява по формулата за калсическа вероятност:

, където с m е означено броя на благоприятните изходи, а с n – броя на всички възможни изходи. Тук се разглеждат само такива събития които имат равнио възможности за поява.

Свойства на вероятностите:

За всяко събитие А и В са в сила следните свойства:

1)

2) , където е противоположното събитие.

3) Ако , то

Теорема за събиране на вероятностите:

Теорема за умножение на вероятности:

За всеки две независими събития А и В е в сила

Музика:   


                            

Забавление