Никой не знае от колко века съществуват числата, с които сега работим, но едно е неоспоримо няма друг универсален език на света.

Всичко започва от множеството на естествените числа

Това са числата 1, 2, 3, 4, 5, ......и се означава с N

Това множество се въвежда аксиоматически чрез три основни числа и пет аксиоми. Тези аксиоми се наричат аритметични аксиоми на Пеано на името на италианския математик Джузепе Пеано (1858 - 1932).

Основните (първичните) понятия на Пеано са:

“едно”, “наследник”, “естествено число”.

Петте аксиоми на Пеано гласят:

Аксиома първа. 1 е естествено число.

Аксиома втора. За всяко естествено число съществува единствен наследник.

Аксиома трета. Едно не е наследник на никое естествено число.

Аксиома четвърта. От , където и са наследници на естествените числа х и у , следва

Аксиома пета. Нека N е някое множество от естествени числа със следните свойства:

• 1 N ;
• A ко естествено число х N , то и наследникът му , тогава N е множеството на всички естествени числа.

 

Петата аксиома на Пеано се нарича “принцип на пълната математическа индукция” (индукция – заключение от частното към общото). Приложението на този принцип не само в аритметиката, но в математиката изобщо, се нарича “метод на пълната математическа индукция”.

Доказването на свойства на операциите с естествени числа става с помощта на принципа на индукцията:

• на всеки две естествени числа a и b се съпоставя еднозначно естествено число, което се означава a+b и се нарича сбор (сума) на числата a и b ;

 

• на всеки две естествени числа a и b се съпоставя еднозначно естествено число, което се означава a.b и се нарича произведение на числата a и b ;

За въведените операции събиране и умножение са в сила следните свойства:

 

• Разместително (комутативно) свойство на събирането:

a + b = b + a

• Съдружително (асоциативно) свойство на събирането:

( a + b ) + c = a + (b + c)

• Разместително (комутативно) свойство на умножението:

a.b = b.a

• Съдружително (асоциативно) свойство на умножението:

( a.b ) .c = a.(b.c)

• Разпределително (дистрибутивно) свойство на умножението относно събирането:

( a + b ). c = a . c + b . c .

По- нататък се въвеждат и обратните операции на събирането и изваждането. Нека a и b са две произволни естествени числа.

• Ако съществува естествено число x , така че да е в сила равенството , числото х се нарича разлика на числата a и b и се означава с b – a .
• Ако съществува естествено число у, така че да е в сила равенството а . у = b , числото у се нарича частно на числата b и a и се означава b : a.

С помощта на понятието сбор на естествени числа се дава дефиниция на понятието “наредба” в множеството на естествените числа.

За наредбата на естествените числа се доказват свойствата:

1. Трихотомия на наредбата. За всеки две естествени числа a и b е изпълнена точно една от релациите:

a = b , a < b , a > b .

1. Ако a < b и b < с, то a < с.
2. Ако a < b , то a + с < b + с за всяко с.
3. Ако a < b , то a . с < b . с за всяко с.

Естествените числа се записват в десетична позиционна бройна система с помощта на десетте цифри

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

• Системата се нарича позиционна , защото всяка цифра според позицията (мястото) си в десетичния запис на числото, показва броя на единиците, десетиците, стотиците, хилядите и т. н.
• Системата се нарича десетична, защото основна роля при записа на числата играе числото 10.

Например: 1234 = 1.10³ + 2.10² + 3.10¹ + 4.10⁰

23456 = 2.10⁴ + 3.10³ + 4.10² + 5.10¹ + 6.10⁰.

За основа на записа на естествените числа, вместо числото 10, може да се вземе кое да е естествено число . Тогава при записа на числата се използват р цифри и позиционната бройна система се нарича р-ична.

Например 102033 ₍₄₎ е запис в четиритична позиционна бройна система на числото 1167₍₁₀₎ , защото

1.4⁵ + 0.4⁴ + 2.4³ + 0.4² + 3.4¹ + 3.4⁰ = 1167₍₁₀₎ .

Индексът се поставя, когато искаме да отбележим основата на бройната система.

Друг пример е равенството 10011011 ₍₂₎ = 155₍₁₀₎ , защото

1.2⁷ + 0.2⁶ + 0.2⁵ + 1.2⁴+ 1.2³ + 0.2² + 1.2¹ + 1.2⁰ = 155

За записване на естествените числа в двоична система се използват само две цифри 0 и 1.

Записването на естествените числа може да става и с римски цифри:

I      V        X        L        C        D        M

1       5       10      50     100   500     1000.

Ето някои примери:

IX = 9, XV = 15, XCIV = 94, CXVII = 117, MCMXC = 1990.

Множество на целите числа

За да се задоволят нуждите от действие изваждане е необходимо разширяване на множеството на естествените числа до множеството на целите числа.

Ако към множеството на естествените числа добавим и техните противоположни се получава новото множетство на целите числа.

Множеството на целите числа е

…,– 5 ,– 4 ,– 3 ,– 2 ,– 1 , 0 , 1, 2, 3, 4, 5, … и означаваме със Z .

В това множество не само сборът и произведението, но и разликата на две цели числа е също цяло число, т.е. операцията изваждане е винаги изпълнима.

Дефиницията на целите числа в аритметиката използва познатите вече естествени числа. Една част от новото множество на целите числа се отъждествява с естествените числа. Числата от тази част се наричат положителни цели числа. Числата от друга част се наричат отрицателни цели числа. Освен положителните и отрицателните цели числа има още едно цяло число, числото 0 (нула).

Дефинира се понятието противоположно число на дадено, различно от 0, цяло число. Ако а е цяло число, противоположното му число се означава с (– а ).

Дефинира се понятието абсолютна стойност на цяло число като | a | = a , ако а е положително и | а | = - а, ако а е отрицателно. Числото 0 няма противоположно и | 0 | = 0.

Доказва се, че за събирането и умножението в множеството на целите числа са изпълнени комутативното, асоциативното и дистрибутивното свойства. Изпълнено е и свойството трихотомия на наредбата в множеството на целите числа.

В разширеното множество от цели числа новият елемент – числото 0 играе особена роля. Ето някои свойства на целите числа, свързани с числото 0

• За всяко цяло число а е изпълнено

а + 0 = а, а + (-а) = 0 .

• Ако произведението на две цели числа а и b е 0, т.е. ако а. b = 0 , то поне едното от тях е 0.
• Уравнението а + х = 0,където а е цяло число, има точно едно решение х = – а .

При всяко разширение на една категория числа се получава нова категория числа, която е много по-богата с числени индивиди, по-богата на съдържание и свойства. Но при такова разширение неминуемо някои от свойствата на “старата” категория числа се загубват. Например:

• Във всяко множество от естествени числа има най-малко естествено число. Но има множества от цели числа, които нямат най-малко число. Например множеството от отрицателни цели числа няма най-малко число.
• В множеството на естествените числа, от а < b следва а . с < b . с без значение кое е естественото число с . Но в множеството на целите числа това е изпълнено само ако с е положително цяло число.

Множество на рационалните числа

Множеството на целите числа задоволява нуждите на събирането, изваждането и умножението, но не е достатъчно за нуждите на делението. Частното на две цели числа не винаги съществува, т.е. действието деление не винаги е изпълнимо в множеството на целите числа.

За да бъде действието деление винаги изпълнимо, трябва множеството на целите числа да се разшири.

При дефиницията на рационални числа се използват двойки от цели числа .

Множеството на рационалните числа се означава с Q

В случай, че двойката цели числа има частно, тя води до цяло рационално число , a когато двойката няма частно, тя води до дробно рационално число .

За рационалните числа също може да се докаже, че са изпълнени комутативното, асоциативното и дистрибутивното свойства. Изпълнено е и свойството трихотомия на наредбата в множеството на рационалните числа.

В множеството на рационалните числа частното на две рационални числа a и b ( ) съществува и също е рационално число, т.е. операцията деление е изпълнима. Казано по друг начин уравнението

а.х = b , а 0

има точно решение в множеството на рационалните числа.

Решението на уравнението а.х = 1 (а 0) , т.е. числото се нарича реципрочно число на рационалното число а. Всяко рационално число, което е различно от 0, има реципрочно.

Това понятие липсва в множеството на целите числа.

В множеството на целите числа всяко число има съседни числа. В множеството на рационалните числа няма съседни числа. Които и две рационални числа a и b да вземем, между тях има и то безброй много други рационални числа – например , , … Това свойство на рационалните числа се нарича гъстота.

Всяко рационално число може да се представи във вида , където q е естествено число, а p – цяло число (положително, отрицателно или нула).

Рационалните числа могат да се представят и чрез десетични дроби. Но оказва се, че не всяка десетична дроб представя рационално число. Само крайните и безкрайните периодични десетични дроби представят рационални числа.

Рационалните числа се изобразяват с точки от числовата ос .

Оказва се, обаче че не всяка точка от числовата ос е “рационална”, т.е. е образ на рационално число. Например, решението на уравнението х² = 2.

Доказва се, че не съществува рационално число, чиято втора степен е равна на 2. Ако нанесем на положителната посока на числовата ос, от началото О, отсечката ОР, равна на диагонала на квадрат със страна 1, точката Р отговаря на числото х, за което х² = 2. Тъй като такова рационално число не съществува, точката Р не е “рационална” точка. Това показва, че върху числовата ос има точки, които не са “рационални”.

Множество на реалните числа

Необходимостта от разширяване на множеството на рационалните числа е за да задоволи нуждата от действие коренуване. Квадратен корен от положително рационално число не винаги съществува в множеството на рационалните числа ( , ).

“Рационалните” точки на числовата ос са гъсто разположени върху нея. Между всеки две от тях има и безброй много други “рационални” точки. Но въпреки това остават и “празни” точки, които не са образи на рационални числа.

Безкрайните десетични дроби съответстват на рационални числа, само ако са периодични * . Но има и непериодични безкрайни десетични дроби. Например: 0,12345678…

Това са някои от причините, които налагат множеството на рационалните числа да се разшири.

В училищния курс по математика това разширение става описателно с помощта на безкрайните десетични дроби. Прието е под реално число да се разбира безкрайна десетична дроб.

• Когато безкрайна десетична дроб е периодична, това “число” ще е познатото ни рационално число.
• Когато безкрайна десетична дроб е непериодична, това “число” ще е ново – ирационално число.

Множеството на рационалните и множеството на ирационалните числа образуват множеството на реалните числа.

Издържана в теоретично отношение дефиниция на реалните числа дава едва в 1872 г. немският математик Дедекинд (1831 – 1916 г.) в съчинението си “Непрекъснатост и ирационални числа” като използва рационалните числа.

Независимо от Дедекинд и по същото време реалните числа са дефинирани чрез безкрайни редици от рационални числа от немските математици Кантор (1845 – 1918 г.) и Вайерщрас (1815 – 1897 г.). Въвеждането на реалните числа в средното училище е най-близко до теорията на Кантор.

За реалните числа са изпълнени комутативното, асоциативното и дистрибутивното свойства, както и трихотомията на наредбата.

Най-важното свойство на реалните числа е новото свойство непрекъснатост.

Често се остава с погрешното убеждение, че понятието ирационално число е свързано със символа . Това е така, защото именно при корените за първи път се въвеждат ирационалните числа. Числата , , и т.н. са ирационални, но това са само частни случаи на ирационалните числа. Съществуват ирационални числа, които не са свързани с радикали.

Реалните числа се делят на две групи:

алгебрични числа и трансцендентни числа.

 

• Едно число се нарича алгебрично, когато съществува уравнение с цели коефициенти, на което то е корен.

Всички реални числа, които са рационални, са и алгебрични. Рационалното число е корен на уравнението qx – p = 0 . Например числото е корен на уравнението 2х – 3 = 0.

Една част от ирационалните числа също са алгебрични. Например числото е корен на уравнението
х ² – 2 = 0.

• Има реални числа (те са ирационални), за които няма уравнения с цели коефициенти, на които те да са корени. Те се наричат трансцендентни числа.

Такива са например

числото π = 3,141592,

числото е = 2,718281,

използвано от шотландския математик Джон Непер (1550 – 1617 г.) за основа на естествените (натуралните) логаритми.

Изглежда невероятно, но е истина, че множеството на трансцендентните реални числа е много по-богато на числени индивиди от множеството на алгебричните реални числам т.е. “трансцендентните” точки върху числовата ос са много повече от “алгебричните” точки.

Множеството на реалните числа също се разширява с така наречените комплексни числа, като пак се спазва принципът на перманентност. Комплексните числа се изобразяват с точките на една равнина, като реалните числа се изчерпват с точките на една права от тази равнина. Например двете решения на квадратното уравнение х² + 1 = 0 са комплексни числа, кито се означават с i и – i , където i = .

Превръщане на обикновени дроби в десетични

Всяко рационално число може да се представи във вида , където q е естествено число, а р – цяло число (положително, отрицателно или нула).

Например , , , , , , са рационални числа.

Рационалните числа могат да се представят и чрез десетични дроби, като числителя разделим на знаменателя. Ако след определен брой деления се получи остатък 0, резултатът от делението е крайна десетична дроб.

Ако след определен брой деления някой остатък се повтори, цикълът между двата повтарящи се остатъци ще се повтаря безброй много пъти и резултатът от делението е безкрайна десетична периодична дроб.

 

Тъй като при деление на естествено число q остатъци могат да бъдат числата 0, 1, 2, … , q – 1, най-много след q на брой деления трябва да се получи или остатък 0, или някой остатък да се повтаря.

 

Следователно всяко рационално число може да се представи като крайна или безкрайна периодична десетична дроб.

Превръщане на безкрайни периодични десетични дроби в обикновени

Особено важно е, че е вярно обратното твърдение:

Всяка безкрайна десетична периодична дроб представя рационално число.

За десетичните дроби с период 0, т.е. за крайните десетични дроби, твърдението очевидно е изпълнено.