Пръв въвежда понятието “функция” немският професор Лайбниц.

Готфрид Вилхелм Лайбниц – роден 1.07.1646 г. в Лайпциг – починал 14.11.1716 г. в Хановер следва философия и право. Има докторска дисертация по право (1667 г). Енциклопедист с висок интелект, през 1672 е натоварен с политическа мисия и отпътува за Париж, където започва да се занимава и с математика. Още през 1673 г. Лайбниц построява сметачна машина. 1700г. той става основател и първи председател на Берлинската академия на науките.

По същото време живее и Исак Нютон (р. 4.01.1643 г. в Уусторп – починал 31.03.1727 г. в Лондон). Той показва, че обект, хвърлен нагоре с определена начална скорост се движи по формула, представляваща квадратна функция.

Функция – Казваме, че е зададена функция на елементи от множеството Х в множеството Y , тогава и само тогава, когато е известно правило, по което на всеки елемент от Х съпоставяме точно един елемент от Y .

Да се определи дефиниционното множество на функциите:

= > DM

Най-използваният начин на задаване е чрез формула.
Например:
y = 2. x + 3;
y = 3. x ² + 2;

Графика на функция – Множеството от точки в равнината с координати ( x , y ) , където y = f (х).

Примери:

Кликнете върху уравнението на функцията, за да видите съответната графика.

y = x – 1                   y = 2.x ²                    y = sinx

Начини на задаване на функция :

Аналитичен – чрез формула

Нaпример:

y = 2 x + 3;
y = x ² – 4. x + 3;
;

Графичен:

y = x ² – 2.x + 1

Табличен -

X	0	1	2	3
Y	1	4	7	10

Показателите на лека кола ускоряваща от 0 до 120 км/час

t(s)	10	30	60	120
S(km)	0,5	1	1,5	2

Резултатите след първия учебен срок в нашия випуск са:

Оценка	2	3	4	5	6
Бр.ученици	5	10	30	54	4

Трите начина на задаване на функцията са свързани, но не винаги можем да преминаваме от графичния и табличния вид в аналитичен вид. Поради което предпочитаме фукцията да е представена в аналитичен.

За всяка функция е важно да се определят:

- Дефиниционно множество – стойностите на функцията, в която тя е дефенирана;

- Пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси.

Това са точките с координати (0; y ) и (х; 0);

- Нарастване и намаляване на функцията;

Казваме, че функцията y = f (х) e растяща в определен интервал, ако за всяко х ₁≤ х ₂
(х ₁ и х ₂ са от този интервал) е изпълнено f (х ₁) ≤ f (х ₂), и е намаляваща, ако за всяко х ₁≤ х ₂ е изпълнено f (х ₁) ≥ f (х ₂).

- Най-голяма(най-малка) стойност на функцията.

Линейна функция –

Определение: Функция от вида y = k. x – n, където k и n са константи се нарича линейна функция.

Дефиниционното множество на линейната функция е всяко х.

Коефициентът k се нарича още и ъглов коефициент, защото k = tgα, където α е ъгълът, който сключва графиката на линейната функция с положителната посока на абсцисната ос.

 

При k < 0 графиката на линейната функция сключва с положителната посока на абсцисната ос ъгъл по-голям от 90^o и функцията е намаляваща.

При k = 0 графиката на линейната функция е успоредна на асцисната ос.

При k > 0 графиката на линейната функция сключва с положителната посока на абсцисната ос ъгъл по-малък от 90^o и функцията е растяща.

Ако свободният член n е равен на нула, то графиката на линейната функция минава през началото на координатната система.

 За начертаване на графиката на една линейна функция е достатъчно да се определят кооординатите на две точки от тази графика.

Квадратна функция – y = a . x ² + b . x + c

а се нарича старши коефициент и играе важна роля за определяне вида на графиката.

При а < 0 вида на графиката е:

При а > 0 графиката е:

А при а = 0 функцията не е квадратна, а е линейна:

Върхът на графиката на квадратната функция е точката с координати . Озн. .

Или точка с координати

За построяване на графика на квадратна функция са важни:

1. Знакът на старшия коефициент а.
2. Върхът на графиката.
3. Точките в които графиката пресича координатните оси.

(х₁; f (х ₁)) и (х ₂ ; f (х ₂)), където х ₁ и х ₂ са корените на квадратното уравнение
a . x ² + b . x + c = 0

( 0 ; с)- точката в която графиката пресича ординатната ос.

Възможно е графиката на квадратната функция да не пресича абсцисната ос на координатната система, но винаги пресича ординатната ос.

Примери:

Следователно графиката не пресича абсцисната ос, а е точката в която графиката пресича ординатната ос.