Историческа справка

Джон Непер – лорд на Мичиган, род.1550 г. – починал 4.04.1617 в Единбург. Шотландският благородник и земевладелец занимавайки се със задачата за облекчаване на числените пресмятания , създал логаритмичната линийка и въвел десетичната запетая.. Той въвежда натуралния логаритъм ( ln x – логаритъм с основа числото е ≈ 2,71). Числото е се нарича Неперово число.

Съвместно с Непер е работил и създателят на десетичния логаритъм ( lg x ) Хенри Бригс (1561 – 1630), който въвежда използването на таблица за десетични логаритми на числата от 1 до 1000.

Решаването на уравнението

а ^x= b,

създава необходимостта от въвеждането на ново математическо понятие логаритъм.

Определение: За а > 0, а ≠ 1 и b > 0 единственото решение на уравнението а ^x= b се нарича логаритъм от b при основа а и се записва

х = log_ab.

Множеството от допустими стойности на y = log_aх е х > 0, при а ≠ 1 и а > 0

Ако заместим х=log_a b в (1) получаваме основното свойство

Примери:

1) y = log _x( x + 2)

Допустимите стойности са:

<=> <=>

2) Чрез основното свойство

, при а > 0, а ≠ 1

Трябва да се знае, че от:

1. а ¹ = а => log _aа = 1 при а > 0
2. а ⁰ = 1 => log _a1 = 0, при а > 0 , а ≠ 1
3. Ако 0 < а < 1, то 0 < m< n <=> log _am > log _an.
4. Ако а > 1, 0 < m< n <=> log _am < log _an

от 1. => log ₅5 = 1

от 2. => log _x1 = 0, при x > 0 , x≠ 1

Определете стойностите на а, за които е изпълнено неравенството:

1) log _a5 < log _a6

Отговор: При а > 1

2)

Отговор: При а < 6

Логаритъм, на който основата е 10 се нарича десетичен и се записва без буквата "о" : (lgx=log ₁₀ x )

Свойства:

Нека А > 0, В > 0, С > 0 и В ≠ 1, тогава за логаритмите са в сила следните свойства:

1. log _BA + log _BC = log _B(AC)
2. log _BA – log _BC = log _B(A:C)
3. 
4. , където С ≠ 1