Раздел: Стереометрия

Тема: Точки, прави, равнини

Теория

Човечеството е започнало да натрупва и развива математическите си познания още от най-дълбока древност. Първоначалните умения, свързани с математиката, са удовлетворявали потребности от бита на човека. Потребностите за измерване на площи на земни участъци, на различни обеми , както и нуждите на строителството са обусловили възникването и развитието на различни геометрични умения и знания. Постепенно геометричните познания на древните цивилизации са се натрупвали, разширявали и обогатявали. Възникнала обективна необходимост от тяхното систематизиране като отделен дял на математическата наука. Съществен принос в това отношение е направил древногръцкият математик Евклид ( IV в. пр. Хр.).

В своето знаменито съчинение “Елементи” Евклид за пръв път прилага аксиоматичния подход, за да систематизира и обобщи геометричните знания и факти в единна научна дисциплина. Този аксиоматичен подход се прилага и до днес при изграждането на всяка математическа теория. Същността му се състои в следното – една математическа теория се построява с помощта на понятия, които не подлежат на дефиниране. Те се наричат първични понятия. Техният смисъл и роля в математическата теория се изяснява с помощта на специални твърдения, които не подлежат на доказателство и чиято вярност се приема наготово. Тези твърдения се наричат аксиоми. На базата на първичните понятия и аксиомите се получават нови твърдения, чиято вярност се доказва – това са теоремите и също така се получават нови понятия, които обаче се дефинират. Съвременното построение на Евклидовата геометрия с помощта на аксиоматичния метод е направено от немския математик Давид Хилберт в забележителния му труд “Основи на геометрията”.

В училище изучаваме само Евклидовата геометрия. Тя може да бъде разделена на два дяла. Досега изучавахме онзи дял на геометрията, който се занимаваше със свойствата на равнинните фигури. Този дял носи името планиметрия. Названието е комбинация от латинската дума “planum”, което означава равнина, и гръцката дума , което означава измервам. Предстои ни да започнем изучаването на другия, много красив и интересен дял на геометрията, който изучава свойствата на пространствените фигури. Името му е стереометрия. Названието произлиза от гръцките думи , което означава пространство и .

В предишни класове сме разглеждали някои най-прости пространствени тела и техни свойства. Като такива могат да бъдат посочени пирамида, паралелепипед и куб. Ще използваме познатите свойства на тези тела в някои примери и задачи.

Сега ще направим опит да получим нови, най-разнообразни стереометрични познания, като използваме аксиоматичния подход.

Основни първични понятия в стереометрията са точка, права и равнина. За означаване на точките ще използваме големите букви на латинската азбука – A,B,C,D и т.н. За означаване на правите ще използваме малките букви от латинската азбука – a,b,c,d и т.н. Равнините ще означаваме с малките букви на гръцката азбука - и т.н.

За да облекчим изложението, ще спестим някои от аксиомите, които излага Хилберт в съчинението си “Основи на геометрията” и с чиято помощ се извършва построението на стереометрията като наука.

Първата ни основна цел ще бъде да изясним всички възможни положения между първичните понятия. За взаимното положение на точка и права в пространството са налице две възможности – точката да лежи или да не лежи върху правата. Кога една точка лежи или не лежи върху дадена права, знаем от планиметрията.

За една точка и една равнина са налице две възможности – точката да лежи в равнината (записваме или z ) или точката да не лежи в равнината (записваме или ). Можем също да употребим изразите “равнината съдържа (не съдържа) точката ” или “равнината минава (не минава) през точката ”. Разгледаното отношение между точка и равнина можем да използваме, за да получим един начин за определяне на равнина в пространството.

Аксиома 1: За всеки три точки в пространството, които не лежат на една права, съществува точно една равнина, която ги съдържа.

От тази аксиома следва, че всяка равнина се определя еднозначно от кои да са три нейни точки, не лежащи на една права. Този начин за задаване на равнина в пространството е много удобен и ще го използваме често по-нататък. Ако една равнина се задава чрез точките , ще я означаваме с или (фиг. 1).



Фигура 1


Да продължим сега да разглеждаме различни взаимни положения на точки, прави и равнини. Междувременно от спомената аксиома възникна и друга съдържателна стереометрична задача – да изучим различни начини за еднозначно определяне на дадена равнина. За целта ще въведем още няколко аксиоми.

Аксиома 2: Ако две различни точки от една права лежат в дадена равнина, то всяка точка от правата лежи в равнината. В този случай ще казваме, че съответната права лежи в дадената равнина. Тоест, ще казваме, че една права лежи в равнина , ако всяка точка от правата лежи в равнината и ще записваме това така: или z. Можем да употребим и изразите“равнината минава през правата ” или “равнината съдържа правата ”.

Формулираната аксиома ни позволява да изброим всички възможни положения на права и равнина в пространството. Нека и са права и равнина в пространството. Критерият за взаимното им положение е прост – броят на общите им точки:

  • ако и имат повече от една обща точка. Тогава, съгласно аксиомата, .
  • ако и имат точно една обща точка (фиг. 2). В такъв случай казваме, че правата пробожда (пресича) равнината . Единствената им обща точка ще наричаме пробод на правата с равнината. Ако (фиг. 2) е тази обща точка, то можем да записваме, че или .



Фигура 2


  • Ако и нямат обща точка. Тогава казваме, че правата и равнината са успоредни (фиг. 3) и можем да запишем, че .



Фигура 3


Пример: За правата и равнината имаме , тъй като от начина на задаване на равнината следва, че и . Тогава от аксиомата следва . Също така и .

От последната аксиома получаваме и втори начин за задаване на равнина.

Теорема 1: През права и точка, не лежаща върху правата, минава точно една равнина.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:

За да запишем, че две равнини съвпадат, най-често използваме знака “ ”, тоест записът означава, че равнините и съвпадат. Също така използваме знака “ ”, за да отбележим, че две равнини не съвпадат. Когато в някоя теорема или задача искаме да определим равнина по начина от теоремата, а именно чрез права и точка , съответната равнина означаваме с .



Фигура 4


Определението за пресичащи се прави в пространството се запазва без изменение от планиметрията – това са двойка прави, които имат точно една обща точка.

Тогава вярна е и следната

Теорема 2: През две пресичащи се прави минава точно една равнина.

Ако равнината е определена по начина от тази теорема - например чрез пресичащите се прави и , то записваме това така: .

Аксиома 3: Ако две равнини имат обща точка, то те имат поне още една обща точка. Критерий за взаимното положение на две равнини в пространството е броят на общите им точки. Налице са само две възможности – равнините да имат или да нямат обща точка. В първия случай се оказва вярна следната

Теорема 3: Ако две равнини имат обща точка, то множеството от общите им точки е права.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:



Фигура 5


Пример: Ако точките и са върхове на триъгълна пирамида, то . Този факт се обяснява с обстоятелството, че за четирите върха на една пирамида не съществува равнина в пространството, която ги съдържа. Тоест, и , което доказва исканото.

Ако две равнини и имат обща точка, ще ги наричаме пресекателни или пресичащи се. Ако е общата им права, ще я наричаме пресечница на тези равнини и ще записваме .

Ако две равнини и нямат обща точка, ще казваме, че те са успоредни и ще записваме .

В решенията на повечето стереометрични задачи ще използваме знанията си по планиметрия. За да може това използване да не поражда логически противоречия, ще добавим и

Аксиома 4: Всички аксиоми и теореми на планиметрията са изпълнени във всяка равнина на пространството.

Нещо повече, тези аксиоми и теореми могат да бъдат прилагани и за равнинни фигури, лежащи в различни равнини на пространството. Например признаците за еднаквост и подобие на триъгълници могат да бъдат прилагани за триъгълници, лежащи в различни равнини на пространството.

Пример: За точките и и равнината е дадено, че и . Да се определи взаимното положение на правата и равнината .

Решение: Правата и равнината не са успоредни, защото имат обща точка – точката . Правата не лежи в равнината , понеже . Следователно правата пробожда равнината .

Пример: За точките и равнините и е дадено, че и . Да се докаже, че точките лежат в една равнина.

Решение: и следва, че дадените равнини имат обща точка и следователно множеството от общите им точки е права. Нека . Тогава от и следва, че . По същия начин получаваме, че и .

Пример: За три прави е дадено, че всеки две от тях имат обща точка. Възможно ли е тези прави:

а) да лежат в една равнина?
б) да не лежат в една равнина

Решение:

а) Възможно е. Като пример е достатъчно да разгледаме правите, определени от страните на един триъгълник в коя да е равнина в пространството.
б) Възможно е. Да разгледаме произволна триъгълна пирамида . Правите и отговарят на условието на задачата. Ако допуснем, че съществува равнина, която съдържа тези прави, ще получим, че четирите върха на пирамидата лежат в една равнина – невъзможно.