Раздел: Стереометрия

Тема: Пирамиди. Пресечени пирамиди

Теория

Определение: Многостен, една от стените на който е произволен многоъгълник, а останалите му стени са триъгълници с общ връх, наричаме пирамида. На фиг. 1 е построена четириъгълната пирамида . Четириъгълникът е основа на пирамидата, а триъгълниците и са околните стени на пирамидата. Точката е върхът на пирамидата, а отсечките и са нейните околни ръбове. Страните на основата са основните ръбове на пирамидата. Перпендикулярът, построен от върха на пирамида до основата и, наричаме височина на пирамидата.


Фигура 1

Сборът от лицата на околните стени на пирамидата наричаме лице на околната и повърхнина, а лицето на повърхнината на пирамидата е сборът от лицата на околната и повърхнина и на основата.

Определение: Пирамида, основата на която е правилен ъгълник и петата на височината на която е центърът на този многоъгълник, се нарича правилна ъгълна пирамида.

Определение: Правилна триъгълна пирамида с равни основен и околен ръб се нарича правилен тетраедър.

Определение: Височината към основен ръб в коя да е околна стена на правилна пирамида се нарича апотема на правилната пирамида.

С помощта на определението лесно могат да бъдат доказани следните свойства на всяка правилна пирамида:

  • Околните и ръбове са равни;
  • Околните и ръбове сключват равни ъгли с основата;
  • Околните и стени са еднакви равнобедрени триъгълници и сключват равни ъгли с основата.

Пример: Дадена е правилната триъгълна пирамида . Да се докаже, че двустенните и ъгли при околните и ръбове са равни.

Решение: От еднаквостта на триъгълниците и лесно следва, че височините им съответно от върховете и не само са равни, но и имат обща пета – точката (фиг. 2). Тогава е линеен ъгъл на двустенния ъгъл в пирамидата с ръб . Аналогично получаваме, че и са височините на триъгълниците и (фиг. 2) и е линеен ъгъл на двустенния ъгъл в пирамидата с ръб . Но понеже по трети признак, то . Това равенство води до равенството на двустенните ъгли при ръбовете и . По същия начин доказваме желаното и за двустенния ъгъл при ръба .


Фигура 2


Обемът на всяка пирамида може да бъде пресметнат по формулата , където е лицето на основата, а е височината на пирамидата.

Теорема 1: За пирамида са еквивалентни следните твърдения:

а) Околните ръбове на пирамидата са равни;
б) Околните ръбове на пирамидата сключват равни ъгли с основата;
в) Околните ръбове на пирамидата сключват равни ъгли с височината и.

Теорема 2: Ако околните ръбове на пирамида сключват равни ъгли с основата, то около основата на пирамидата може да се опише окръжност и ортогоналната проекция на върха на пирамидата в равнината на основата е центърът на тази окръжност.

Теорема 3: Ако околните стени на пирамида сключват равни ъгли с основата и, то в основата на пирамидата може да се впише окръжност и ортогоналната проекция на върха на пирамидата в равнината на основата е центърът на тази окръжност.

Определение: Сечение на пирамида с равнина, минаваща през два несъседни околни ръба на пирамидата, наричаме диагонално сечение на пирамидата. Сечение на пирамидата с равнина, успоредна на равнината на основата на пирамидата, наричаме успоредно сечение на пирамидата.

На фиг. 3 триъгълникът е едно диагонално сечение на пирамидата , а триъгълникът е едно успоредно сечение на пирамидата .



Фигура 3


Теорема 4: Всяко успоредно сечение на пирамида е многоъгълник, подобен на основата и. Отношението на лицата на всеки две успоредни сечения на пирамида е равно на отношението на квадратите на разстоянията от върха на пирамидата до равнините на сеченията.

Определение: Многостен, чиито върхове са върховете на основата на една пирамида и на някое нейно успоредно сечение, се нарича пресечена пирамида.

На фиг. 4 е построена пресечената пирамида , получена от пирамидата чрез успоредното сечение, определено от равнината .



Фигура 4


Триъгълниците и са основите на пресечената пирамида, а четириъгълниците и са околните и стени. Околните стени на една пресечена пирамида са трапци.

Страните на основите на пресечената пирамида са нейните основни ръбове, а бедрата на трапците, образуващи околните стени на пресечената пирамида, са нейните околни ръбове. Перпендикулярът, построен от коя да е точка на горната основа на пресечената пирамида до долната и основа, се нарича височина на пирамидата. На фиг. 4 отсечката е височина на пресечената пирамида.

Определение: Една пресечена пирамида се нарича правилна, ако е получена от правилна пирамида чрез нейно успоредно сечение.

Определение: Височината във всяка околна стена на правилна пресечена пирамида се нарича нейна апотема. Лицето на околната повърхнина на една пресечена пирамида е сборът от лицата на околните и стени, а лицето на повърхнината на пресечената пирамида получаваме, като към лицето на околната и повърхнина прибавим и лицата на двете и основи.

Теорема 5: Обемът на всяка пресечена пирамида се пресмята по формулата , където е височината, а и са лицата на основите на пресечената пирамида.

Пример: Да се намери лицето на повърхнината на правилна четириъгълна пресечена пирамида, ако основните й ръбове имат дължини 3 и 5, а околните й ръбове имат дължина .

Решение: За лицата на основите – квадратите и (фиг. 5) имаме, че са съответно равни на и . Околните стени са еднакви трапци, ето защо е достатъчно да намерим лицето на едната от тези стени. Като построим двете височини на равнобедрения трапец , както е показано на фиг. 5, с Питагоровата теорема намираме, че височината на трапеца има дължина 4 (височините отсичат от трапеца еднакви триъгълници). Тогава лицето на трапеца е равно на и за лицето на повърхнината S намираме S = 4.16+25+9=98.



Фигура 5


Пример: Успоредно сечение на пирамида разделя височината на пирамидата в отношение 2:3, считано от върха на пирамидата. Да се намери лицето на сечението, ако то е по-малко от лицето на основата на пирамидата с 84 см2.

Решение: Нека е търсеното лице, тогава лицето на основата на пирамидата е равно на . От теоремата за отношението на лицата на успоредните сечения следва равенството . Търсеното лице е 16 см2.