Раздел: Стереометрия

Тема: Цилиндри, конуси, пресечени конуси  

Теория

Определение: Тяло, получено при завъртане на равнинна фигура около права от равнината на фигурата, наричаме ротационно тяло. Повърхнината на едно ротационно тяло наричаме ротационна повърхнина.

Определение: Нека е права в пространството. Множеството от всички прави в пространството, успоредни на и намиращи се на едно и също разстояние от , наричаме цилиндрична повърхнина с ос правата . Всяка права от това множество наричаме образуваща на цилиндричнатаповърхнина.

Определение: Част от пространството, ограничена от една цилиндрична повърхнина и две перпендикулярни на оста и равнини, наричаме прав кръгов цилиндър.

За понятието “прав кръгов цилиндър” може да бъде дадено и следното

Определение: Тяло, получено при завъртането на един правоъгълник около правата, определена от коя да е негова страна, се нарича прав кръгов цилиндър.

Може да се докаже, че двете дадени определения за прав кръгов цилиндър са еквивалентни. От второто определение следва, че правият кръгов цилиндър е ротационно тяло. За краткост по-нататък вместо “прав кръгов цилиндър” ще употребяваме само “цилиндър”.



Фигура 1


На фиг. 1 е построен цилиндър.

Определение: Равнините, перпендикулярни на оста на цилиндричната повърхнина, я пресичат в окръжностите и , чиито кръгове се наричат основи на цилиндъра. Нека тези окръжности имат радиус и центрове точките и . Отсечката наричаме ос на цилиндъра, а - радиус на основите на цилиндъра или само радиус на цилиндъра. Разстоянието между равнините - основите на цилиндъра се нарича височина на цилиндъра. Очевидно е една височина на цилиндъра. Отсечките и от повърхнината на цилиндъра, успоредни на оста му, се наричат образуващи (или образувателни) на цилиндъра. Всяко сечение на цилиндъра с равнина, минаваща през правата , наричаме осно сечение на цилиндъра.

Правоъгълникът е едно осно сечение на цилиндъра. Успоредно сечение на цилиндъра е сечението му с равнина, успоредна на равнините на неговите основи.

Теорема 1: Всички образувателни на цилиндъра са равни на коя да е негова височина; Всички осни сечения на цилиндъра са еднакви помежду си правоъгълници; Всички успоредни сечения на цилиндъра са кръгове, еднакви с кръговете на основите му.

Теорема 2: Ако и са съответно лицето на околната и на пълната повърхнина на цилиндър с височина и радиус на основите , то верни са равенствата: и .

Да напомним, че лицето на пълната повърхнина наричаме и лице на повърхнината.

Обемът на един цилиндър пресмятаме по формулата .

Пример: Да се намерят височината и радиусът на цилиндър с обем и лице на околната повърхнина .

Решение: Равенството можем да запишем във вида и понеже , то получаваме, че . От формулата за лицето на околната повърхнина получаваме тогава, че .

Пример: Лицето на основата на цилиндър е , а лицето на осното сечение на цилиндъра е . Да се намери обемът на цилиндъра.

Решение: Ако и са съответно радиусът и височината на цилиндъра, то верни са равенствата и . Тогава . Оттук намираме, че .

Определение: Нека е права в пространството и е точка върху . Множеството от всички прави в пространството, минаващи през точката и сключващи един и същ ъгъл с правата , наричаме конична повърхнина с ос правата и връх точката . Правите наричаме образувателни на коничната повърхнина.

Определение: Част от пространството, ограничена от конична повърхнина и равнина, перпендикулярна на оста на повърхнината, наричаме прав кръгов конус.

Определение: Тяло, получено при завъртането на един правоъгълен триъгълник около правата, определена от един от катетите му, наричаме прав кръгов конус.

Може да се докаже, че двете дадени определения за прав кръгов конус са еквивалентни. От второто определение следва, че правият кръгов конус е ротационно тяло. За краткост по-нататък вместо “прав кръгов конус” ще употребяваме само “конус”.



Фигура 2


На фиг. 2 е построен конус.

Определение: Равнината, перпендикулярна на оста на коничната повърхнина, я пресича в окръжността , чийто кръг наричаме основа на конуса. Радиусът на се нарича радиус на основата на конуса. Отсечката е ос и височина на конуса, а отсечките и - негови образувателни. Сечението на конуса с равнина, минаваща през оста му, наричаме осно сечение на конуса. Триъгълникът на фиг. 2 е едно осно сечение на конуса. Сечението на конуса с равнина, успоредна на равнината на основата му, наричаме успоредно сечение на конуса.

Теорема 3: Всички образувателни на конус са равни и сключват равни ъгли с основата му; Всички образувателни на конус сключват равни ъгли с неговата ос; Всички осни сечения на конус са еднакви помежду си равнобедрени триъгълници.

Теорема 4: Всяко успоредно сечение на конус е кръг. Ако радиусът на основата на конуса е , а височината му е , то вярно е равенството , където е радиусът на дадено успоредно сечение, а е разстоянието от върха на конуса до равнината на това сечение.

Теорема 5: Ако и са съответно лицето на околната и на пълната повърхнина на конус с образувателна и радиус на основите , то верни са равенствата: и .

Обемът на конус с радиус на основата и височина пресмятаме по формулата .

Пример: Правоъгълен триъгълник е завъртян около правата . Да се пресметнат лицето на околната повърхнина и обемът на полученото ротационно тяло, ако и .

Решение: Полученото ротационно тяло е конус с ос отсечката , радиус на основата и образувателна (фиг. 3). Понеже , то намираме и . Като използваме формулите за лице на околна повърхнина и обем на конус, получаваме и .



Фигура 3


Определение: Тяло, което е частта от прав кръгов конус, заключена между основата му и едно негово успоредно сечение, наричаме прав кръгов пресечен конус.

Определение: Тяло, получено при завъртането на правоъгълен трапец около правата, определена от бедрото, перпендикулярно на основите на трапеца, се нарича прав кръгов пресечен конус.

Може да се докаже, че двете дадени определения за прав кръгов пресечен конус са еквивалентни. От второто определение следва, че правият кръгов пресечен конус е ротационно тяло. За краткост по-нататък вместо “прав кръгов пресечен конус” ще употребяваме само “пресечен конус”.



Фигура 4


На фиг. 4 е построен пресечен конус.

Определение: Основните му елементи са: и - радиуси на основите; - образувателна; - ос и височина на пресечния конус. Сечението на пресечения конус с равнина, минаваща през оста му, наричаме осно сечение на конуса. Сечението на пресечения конус с равнина, успоредна на равнината на основата му, наричаме успоредно сечение на конуса.

Теорема 6:

  • Всички образувателни на пресечен конус са равни и сключват равни ъгли с основите му;
  • Всички образувателни на пресечен конус сключват равни ъгли с оста му;
  • Всички осни сечения на пресечен конус са еднакви равнобедрени трапци;
  • Всички успоредни сечения на конус са кръгове.

Теорема 7: Ако и са съответно лицето на околната и на пълната повърхнина на пресечен конус с образувателна и радиуси на основите и , то верни са равенствата: и .

Обемът на пресечен конус с радиуси на основите и и височина пресмятаме по формулата .

Пример: Лицето на осното сечение на пресечен конус е и образувателните му сключват ъгъл с голямата му основа. Да се намери лицето на околната повърхнина на пресечения конус.

Решение: Нека равнобедреният трапец на фиг. 5 е едно осно сечение на пресечния конус и са съответните елементи на трапеца и пресечния конус. От условието имаме, че и ако е височината на трапеца и на пресечения конус, то . От друга страна, от правоъгълния триъгълник имаме и за лицето на околната повърхнина на пресечения конус получаваме .



Фигура 5