Раздел: Стереометрия

Тема: Сфери и кълбета

Теория

Определение: Нека е точка в пространството и е положително число. Множеството от точки в пространството, намиращи се на разстояние от точката наричаме сфера с център и радиус . Множеството от точки в пространството, намиращи се на разстояние, не по-голямо от от точката наричаме кълбо с център и радиус .

Определение: Повърхнината в пространството, получаваща се при завъртането на окръжност около права, определена от диаметър на окръжността, наричаме сфера. Тялото, ограничено от една сфера, наричаме кълбо.

Може да се докаже, че двете определения са еквивалентни. На фиг. 1 е построена сферата с център точката и радиус (означаваме ).



Фигура 1


Теорема 1: Нека е дадена сфера и е дадена равнина, като разстоянието от точката до е . Ако , то сечението на и е окръжност. При центърът на тази окръжност е ортогоналната проекция на точката в равнината . Ако , то и имат точно една обща точка, която се явява ортогоналната проекция на точката в равнината . Ако , то и нямат обща точка.

Като използваме тази теорема, можем да дадем следните определения:

Определение: Ако , сечението на и наричаме голяма окръжност на сферата.

Очевидно радиусите на сферата и на коя да е нейна голяма окръжност са равни. Окръжността на фиг. 1 е голяма окръжност на сферата

Определение: Ако , равнината се нарича допирателна за сферата .

Пример: Равнината пресича сферата в окръжността . Да се намери радиусът на , ако разстоянието от до е .

Решение: Нека точката е центърът на окръжността (фиг. 2) и е радиусът и. Да изберем произволна точка и да отбележим, че . Триъгълникът е правоъгълен с прав ъгъл при върха и от Питагоровата теорема, приложена за този триъгълник, получаваме .



Фигура 2


За лицето на повърхнината на сфера с радиус и за обема на кълбото, ограничено от нея, са верни формулите и .

Пример: Голям кръг на кълбо има лице . Да се намери обемът на кълбото.

Решение: Нека е радиусът на кълбото. Тогава големият му кръг има също радиус , откъдето следва равенството . За обема на кълбото получаваме .

Взаимното положение на две сфери зависи от радиусите им и от разстоянието между центровете им.

Нека , са дадени сфери и . Тогава:

  • Ако , двете сфери нямат обща точка, като едната сфера е вътрешна за другата;
  • Ако , двете сфери имат единствена обща точка и се допират вътрешно;
  • Ако , двете сфери се пресичат. Множеството от общите им точки е окръжност.
  • Ако , двете сфери имат единствена обща точка и се допират външно;
  • Ако , двете сфери нямат обща точка и всяка от тях е външна за другата.

Пример: Дадени са сферите и , като . Да се докаже, че сферите се пресичат и да се намери радиусът на общата им окръжност.

Решение: Решение: Фактът, че двете сфери се пресичат, следва от неравенствата . Нека (фиг. 3) и точката е центърът на окръжността . Понеже правите и са перпендикулярни на равнината, в която лежи , то точките и лежат на една права. Ако е произволна точка от , то правите и са перпендикулярни, тъй като лежи в равнината на . Но тогава отсечката , която е и радиус на , е височината в триъгълника , чиито три страни са известни: . С помощта на косинусовата теорема за този триъгълник намираме, че . От правоъгълния триъгълник имаме, че . Това е стойността на търсения радиус.



Фигура 3