Раздел: Стереометрия

Тема: Взаимно положение на две прави и на права и равнина.

Теория

Пример: Правата лежи в равнината , а правата пробожда в точката . Ако , да се докаже, че не съществува равнина в пространството, съдържаща правите и .

Решение: Да допуснем, че съществува равнина в пространството, такава, че и . Тогава и . От предишния урок знаем, че равнината е единствена. Това означава, че . От друга страна, от условието следва, че и , тоест . Но тогава , от където ще следва, че - противоречие с условието.

Правите и от разгледания пример нямат обща точка. Те обаче не са успоредни. Понятието “успоредни прави” в пространството се определя по нов начин.

Определение: Две прави в пространството ще наричаме успоредни, ако нямат обща точка и съществува равнина, която ги съдържа.

Означението за успоредни прави в пространството е обичайното. Ако правите и в пространството са успоредни, то съгласно определението, съществува равнина , която ги съдържа. От теорема от миналия урок следва, че е единствената равнина с това свойство. Оттук получаваме още един, четвърти начин за задаване на равнина, а именно чрез двойка успоредни прави от равнината. Да припомним, че основните начин за задаване на една равнина в пространството са:

  • Чрез три точки, нележащи на една права;
  • Чрез права и точка, нележаща върху правата;
  • Чрез две пресичащи се прави;
  • Чрез две успоредни прави.

Определение: Две прави в пространството ще наричаме кръстосани, ако нямат обща точка и не съществува равнина, която ги съдържа.

Правите и от разгледания в началото пример са кръстосани. Специално означение за двойка кръстосани прави липсва.

Теорема 1: За всяка права и всяка точка, не лежаща върху правата съществува единствена права в пространството, която минава през дадената точка и е успоредна на дадената права.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:


Фигура 1


Теорема 2: Ако всяка от две пресекателни равнини минава през една от две успоредни прави, то пресечницата на двете равнини е успоредна на двете прави.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:


Фигура 2


Теорема 3: Ако две различни прави в пространството са успоредни на трета, то те са успоредни помежду си.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:


Фигура 3


Пример: Нека и са кръстосани прави в пространството и е точка, която не лежи върху тях. Какъв е броят на правите, които минават през точката и пресичат всяка от правите и ?

Решение: Нека и . Равнините и имат обща точка и не могат да съвпадат, защото съвпадението им противоречи на условието, че и са кръстосани. Ако някаква права удовлетворява условието на задачата, то тя трябва да лежи в равнината , защото две различни точки ( и пресечната точка на и ) на правата лежат в равнината . Аналогично разсъждение показва, че . Но това означава, че евентуално само пресечницата на и може да изпълнява условието на задачата. Следователно броят на търсените прави е 1 или 0, в зависимост от това, дали пресечницата на и пресича и двете прави и или е успоредна на едната от тях.

В разгледания пример търсихме права, пресичаща двойка кръстосани прави. Такава права се нарича тяхна трансверзала.

Определение: Всяка права, която пресича две кръстосани прави, се нарича трансверзала на двете прави.

Вече познаваме възможните взаимни положения на права и равнина. Ще разгледаме по-специално успоредността на права и равнина.

Теорема 4: Ако права и равнина в пространството са успоредни, в равнината съществува права, успоредна на дадената.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:


Фигура 4


Пример: Да се докаже, че при условията на теоремата, в равнината съществуват безброй много прави, успоредни на .

Решение: Ясно е, че всяка права, лежаща в равнината и успоредна на правата , е успоредна и на правата .

Теорема 5: Ако права и равнина са успоредни, то всяка равнина, която съдържа правата и пресича дадената равнина, я пресича в права, успоредна на дадената права.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:

Теорема 6: Ако права е успоредна на равнина и през точка от равнината минава права, успоредна на дадената, то втората права лежи в дадената равнина.

Доказателството на тази теорема може лесно да бъде получено от предишната.

Теорема 7: Ако права е успоредна на всяка от две пресичащи се равнини, то тя е успоредна на тяхната пресечница.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:


Фигура 5


Теорема 8: (достатъчно условие за успоредност на права и равнина) Ако дадена права не лежи в дадена равнина и в равнината съществува права, успоредна на дадената, то дадената права и равнина са успоредни.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:


Фигура 6


Пример: Да се докаже, че:

а) съществуват пресичащи се прави и и равнина , такива, че и ;
б) съществуват успоредни прави и и равнина , такива, че и ;
в) в) съществуват кръстосани прави и и равнина , такива, че и .

Решение: Да разгледаме произволен куб . Четириъгълникът е квадрат, следователно правите и са успоредни. Съгласно последната теорема получаваме, че . Аналогично доказваме, че .

а) За да докажем а), е достатъчно за правите и да изберем съответно и , а за равнината - равнината .
б) За доказателството на б) е достатъчно да сменим само правата с правата .
в) За да докажем в), нека разгледаме средите и съответно на отсечките и . Не е трудно да се убедим, че и в качеството на кръстосани прави, успоредни на една и съща равнина, можем да вземем правите и и равнината .

Теорема 9: Ако две равнини са пресекателни, то всяка равнина, която е успоредна на тяхната пресечница и пресича двете равнини, ги пресича в успоредни прави.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:


Фигура 7


Пример: Точките и не лежат в една равнина. Точките и са медицентровете съответно на триъгълниците и . Да се докаже, че правата и равнината са успоредни.

Решение: Нека точките и са среди съответно на отсечките и (фиг. 8). От теоремата на Талес, приложена в равнината следва, че правите и са успоредни. Понеже правата не лежи в равнината , от теорема 5 следва, че .



Фигура 8