Пример: Правата лежи в равнината , а правата пробожда в точката . Ако , да се докаже, че не съществува равнина в пространството, съдържаща правите и .

Решение: Да допуснем, че съществува равнина в пространството, такава, че и . Тогава и . От предишния урок знаем, че равнината е единствена. Това означава, че . От друга страна, от условието следва, че и , тоест . Но тогава , от където ще следва, че - противоречие с условието.

Правите и от разгледания пример нямат обща точка. Те обаче не са успоредни. Понятието “успоредни прави” в пространството се определя по нов начин.

Определение: Две прави в пространството ще наричаме успоредни, ако нямат обща точка и съществува равнина, която ги съдържа.

Означението за успоредни прави в пространството е обичайното. Ако правите и в пространството са успоредни, то съгласно определението, съществува равнина , която ги съдържа. От теорема от миналия урок следва, че е единствената равнина с това свойство. Оттук получаваме още един, четвърти начин за задаване на равнина, а именно чрез двойка успоредни прави от равнината. Да припомним, че основните начин за задаване на една равнина в пространството са:

• Чрез три точки, нележащи на една права;
• Чрез права и точка, нележаща върху правата;
• Чрез две пресичащи се прави;
• Чрез две успоредни прави.

Определение: Две прави в пространството ще наричаме кръстосани, ако нямат обща точка и не съществува равнина, която ги съдържа.

Правите и от разгледания в началото пример са кръстосани. Специално означение за двойка кръстосани прави липсва.

Теорема 1: За всяка права и всяка точка, не лежаща върху правата съществува единствена права в пространството, която минава през дадената точка и е успоредна на дадената права.

Доказателство: Нека и са дадените права и точка (фиг. 1). Ще докажем, че съществува права през , успоредна на . Разглеждаме равнината . В тази равнина за точката и правата прилагаме аксиомата за успоредните прави, съгласно която има права , такава, че и . Тогава правата е търсената, защото и лежат в равнината , тоест правите и удовлетворяват определението за успоредни прави в пространството. Сега ще се убедим, че тази права е единствена. Нека правата минава през точката и е успоредна на правата . Разглеждаме равнината . Ясно е, че и . Съгласно теорема 1 от миналия урок равнините и съвпадат. Но тогава получаваме, че в равнината правите и минават през и са успоредни на и следователно съвпадат. Това доказва единствеността.

Фигура 1

Теорема 2: Ако всяка от две пресекателни равнини минава през една от две успоредни прави, то пресечницата на двете равнини е успоредна на двете прави.

Доказателство: Нека и са дадените равнини, са дадените прави и , (фиг. 2). Правите и не могат да са кръстосани, защото лежат в равнината . Да допуснем, че и са пресекателни и нека . Разглеждаме равнината . Ясно е, че . Но щом , то . От друга страна, щом и , то . Получихме, че точката е обща за равнините и , а това означава, че . Допускането, че правите и имат обща точка ни доведе до извода, че и правите и имат обща точка – точката , а това противоречи на условието. Следователно . Аналогично доказваме, че .

Фигура 2

Теорема 3: Ако две различни прави в пространството са успоредни на трета, то те са успоредни помежду си.

Доказателство: Нека и са дадените прави и нека и . Ще докажем, че . Ако трите прави лежат в една равнина, твърдението е очевидно. Нека затова и правата да не лежи в (фиг. 3). Нека е произволна точка от правата . Разглеждаме равнината . Ясно е, че равнините и са пресекателни, защото имат обща точка ( ) и не съвпадат ( иначе би излязло, че ). Нека . От предишната теорема, приложена за равнините и и успоредните прави и , получаваме, че и . Но през точката съгласно първата теорема минава единствена права, успоредна на , а това означава, че . Понеже получихме, че , то следва, че .

Фигура 3

Пример: Нека и са кръстосани прави в пространството и е точка, която не лежи върху тях. Какъв е броят на правите, които минават през точката и пресичат всяка от правите и ?

Решение: Нека и . Равнините и имат обща точка и не могат да съвпадат, защото съвпадението им противоречи на условието, че и са кръстосани. Ако някаква права удовлетворява условието на задачата, то тя трябва да лежи в равнината , защото две различни точки ( и пресечната точка на и ) на правата лежат в равнината . Аналогично разсъждение показва, че . Но това означава, че евентуално само пресечницата на и може да изпълнява условието на задачата. Следователно броят на търсените прави е 1 или 0, в зависимост от това, дали пресечницата на и пресича и двете прави и или е успоредна на едната от тях.

В разгледания пример търсихме права, пресичаща двойка кръстосани прави. Такава права се нарича тяхна трансверзала.

Определение: Всяка права, която пресича две кръстосани прави, се нарича трансверзала на двете прави.

Вече познаваме възможните взаимни положения на права и равнина. Ще разгледаме по-специално успоредността на права и равнина.

Теорема 4: Ако права и равнина в пространството са успоредни, в равнината съществува права, успоредна на дадената.

Доказателство: Нека (фиг. 4) и нека в равнината изберем произволна точка . Очевидно . Да разгледаме тогава равнината . Равнините и са различни и имат обща точка. Нека . Правите и лежат в равнината , следователно не могат да бъдат кръстосани. Ако допуснем, че правите и имат обща точка, ще излезе, че правата и равнината имат обща точка (защо?). Следователно и понеже , то правата удовлетворява исканото от теоремата.

Фигура 4

Пример: Да се докаже, че при условията на теоремата, в равнината съществуват безброй много прави, успоредни на .

Решение: Ясно е, че всяка права, лежаща в равнината и успоредна на правата , е успоредна и на правата .

Теорема 5: Ако права и равнина са успоредни, то всяка равнина, която съдържа правата и пресича дадената равнина, я пресича в права, успоредна на дадената права.

Доказателство: Нека и . Какво може да бъде взаимното положение на правите и ? Първо, те не могат да бъдат кръстосани, защото лежат в равнината . Второ, ако те имат обща точка, тази обща точка ще е обща и за и , което е невъзможно. Следователно .

Теорема 6: Ако права е успоредна на равнина и през точка от равнината минава права, успоредна на дадената, то втората права лежи в дадената равнина.

Доказателството на тази теорема може лесно да бъде получено от предишната.

Теорема 7: Ако права е успоредна на всяка от две пресичащи се равнини, то тя е успоредна на тяхната пресечница.

Доказателство: Нека (фиг. 5). Нека точката е произволна точка от правата . Да построим единствената права , минаваща през и успоредна на . Тъй като , то съгласно предишната теорема, . Аналогично получаваме, че , а това означава, че . Следователно .

Фигура 5

Теорема 8: (достатъчно условие за успоредност на права и равнина) Ако дадена права не лежи в дадена равнина и в равнината съществува права, успоредна на дадената, то дадената права и равнина са успоредни.

Доказателство: Нека и (фиг. 6). Щом правата не лежи в равнината , то те или ще са успоредни, или ще имат една обща точка. Да допуснем, че и да разгледаме равнината . Съгласно допускането, точката ще е обща за равнините и и следователно ще лежи върху тяхната пресечница. Но . Направеното допускане ни доведе до извода, че правите и имат обща точка – точката , който противоречи на условието. Следователно .

Фигура 6

Пример: Да се докаже, че:

а) съществуват пресичащи се прави и и равнина , такива, че и ;

б) съществуват успоредни прави и и равнина , такива, че и ;

в) в) съществуват кръстосани прави и и равнина , такива, че и .

Решение: Да разгледаме произволен куб . Четириъгълникът е квадрат, следователно правите и са успоредни. Съгласно последната теорема получаваме, че . Аналогично доказваме, че .

а) За да докажем а), е достатъчно за правите и да изберем съответно и , а за равнината - равнината .

б) За доказателството на б) е достатъчно да сменим само правата с правата .

в) За да докажем в), нека разгледаме средите и съответно на отсечките и . Не е трудно да се убедим, че и в качеството на кръстосани прави, успоредни на една и съща равнина, можем да вземем правите и и равнината .

Теорема 9: Ако две равнини са пресекателни, то всяка равнина, която е успоредна на тяхната пресечница и пресича двете равнини, ги пресича в успоредни прави.

Доказателство: Нека (фиг. 7). Правата и равнината са успоредни, а равнината минава през и пресича в правата . Съгласно доказана вече теорема получаваме, че . Аналогично от същата теорема, приложена за правата и равнините и , получаваме, че . Но щом и , то .

Фигура 7

Пример: Точките и не лежат в една равнина. Точките и са медицентровете съответно на триъгълниците и . Да се докаже, че правата и равнината са успоредни.

Решение: Нека точките и са среди съответно на отсечките и (фиг. 8). От теоремата на Талес, приложена в равнината следва, че правите и са успоредни. Понеже правата не лежи в равнината , от теорема 5 следва, че .

Фигура 8