Теорема 1: Ако две пресекателни прави от една равнина са съответно успоредни на две пресекателни прави от друга равнина, то двете равнини са успоредни.

Доказателство: Нека и (фиг. 1). Да допуснем, че равнините и имат обща точка. Тогава те ще се пресичат в права и нека . От теорема 2, урок 3, приложена за равнините и и успоредните прави и следва, че и . Но пак с помощта на споменатата теорема аналогично можем да получим, че и . Щом обаче и , то би следвало, че или , или . Това противоречи на условието. Следователно допускането за съществуване на обща точка на и е погрешно, тоест .

Фигура 1

Пример: Пресичащите се прави и лежат в равнината и са успоредни на равнината . Да се докаже, че .

Доказателство: Да изберем произволна точка и през да построим единствените прави и , съответно успоредни на и . Съгласно теорема от миналия урок и . Като приложим току-що доказаната теорема за правите и , получаваме исканото.

Теорема 2: През точка, нележаща върху дадена равнина, минава единствена равнина, успоредна на дадената.

Доказателство: Необходимо е да установим съществуването и единствеността на равнина, имаща посочените свойства. Нека . Да построим в равнината двойка пресекателни прави и (фиг. 2) и през точката правите и . Нека . Съгласно теорема 1 , с което съществуването на желаната равнина е доказано. За да докажем единствеността, да допуснем, че съществува равнина , минаваща през и успоредна на . Ясно е, че правата и равнината не могат да имат общи точки, защото . Това означава, че . По същия начин се убеждаваме, че . Като приложим теорема (коя?) от миналия урок за правата , равнината и точката , получаваме, че . Аналогично и . Но съществува само една равнина, която съдържа двете пресичащи се прави и , тоест . Получихме противоречие. Следователно равнината не съществува. Единствеността е доказана.

Фигура 2

Пример: Дадени са успоредните права и равнина . Да се докаже, че съществува единствена равнина, съдържаща правата и успоредна на .

Доказателство: Да изберем произволна точка и през да построим права . Ясно е, че . Да построим и втора права през , така, че . Правите и са пресекателни. През произволна точка от правата да построим права , като отбележим, че и също ще са пресекателни. Ако тогава разгледаме равнината , то съгласно доказаната вече теорема следва, че . Единствеността на подобна равнина следва непосредствено от втората доказана теорема (защо?).

Теорема 3: Пресечниците на две успоредни равнини с трета равнина са успоредни прави.

Доказателство: Нека . Правите и , не могат да са кръстосани, защото лежат в равнината . Ако допуснем, че двете прави имат обща точка, то тази точка би била обща и за равнините и , което е невъзможно. Следователно .

Пример: Точката е среда на ръба на куба . Равнината минава през точката и е успоредна на равнината . Кои от ръбовете на стената пресича равнината и в какво отношение ги разделя?

Решение: Равнините и (фиг. 3) имат обща точка и не съвпадат. Следователно те са пресекателни и нека . Понеже , то . Тъй като , то . Но тогава правата ще бъде успоредна и на пресечницата на и , тоест . Но ,следователно и от теоремата за средна отсечка ще следва, че минава през средата на отсечката - точката (фиг. 3). От последната теорема, приложена за успоредните равнини и и равнината следва, че пресечницата на равнините и ще бъда права през и успоредна на (фиг. 3). Пак от теоремата, приложена за успоредните равнини и и равнината , ще следва, че пресечницата на и ще бъде успоредна на . Това показва, че равнината ще минава през средата на отсечката (фиг. 3). С това задачата е решена.

Фигура 3

За взаимното положение на две прави в пространството има три възможности – правите да са успоредни, да са пресекателни или да са кръстосани. Само когато две прави са кръстосани, не съществува равнина, която ги съдържа. В останалите случаи ъгълът между правите е ъгълът, който те образуват в съответната равнина, която ги съдържа.

Определение: Нека и са кръстосани прави и е произволна точка. Ако и са правите, минаващи през точката и съответно успоредни на и , то .

Може да се провери, че така дефинираният ъгъл не зависи от избора на точката .

В конкретни задачи обаче правилният избор на тази точка съществено опростява някои детайли от решението. Уместно е да избираме точката върху едната от кръстосаните прави.

Пример: Даден е куб . Да се намери ъгъла между правите и .

Решение: Правите и са кръстосани. Правата, минаваща през точката и успоредна на , е правата . Следователно . Но триъгълникът е равностранен, следователно търсеният ъгъл е .

Определение: Две прави в пространството наричаме перпендикулярни, ако сключват прав ъгъл.

Перпендикулярността на две прави записваме по общоприетия начин.

Пример: Даден е правоъгълен паралелепипед . Да се докаже, че .

Решение: Твърдението следва непосредствено от факта, че и .