Раздел: Стереометрия

Тема: Взаимно положение на две равнини. Ъгъл между прави в пространството.

Теория

Теорема 1: Ако две пресекателни прави от една равнина са съответно успоредни на две пресекателни прави от друга равнина, то двете равнини са успоредни.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:



Фигура 1


Пример: Пресичащите се прави и лежат в равнината и са успоредни на равнината . Да се докаже, че .

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:

Теорема 2: През точка, нележаща върху дадена равнина, минава единствена равнина, успоредна на дадената.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:



Фигура 2


Пример: Дадени са успоредните права и равнина . Да се докаже, че съществува единствена равнина, съдържаща правата и успоредна на .

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:

Теорема 3: Пресечниците на две успоредни равнини с трета равнина са успоредни прави.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:

Пример: Точката е среда на ръба на куба . Равнината минава през точката и е успоредна на равнината . Кои от ръбовете на стената пресича равнината и в какво отношение ги разделя?

Решение: Равнините и (фиг. 3) имат обща точка и не съвпадат. Следователно те са пресекателни и нека . Понеже , то . Тъй като , то . Но тогава правата ще бъде успоредна и на пресечницата на и , тоест . Но ,следователно и от теоремата за средна отсечка ще следва, че минава през средата на отсечката - точката (фиг. 3). От последната теорема, приложена за успоредните равнини и и равнината следва, че пресечницата на равнините и ще бъда права през и успоредна на (фиг. 3). Пак от теоремата, приложена за успоредните равнини и и равнината , ще следва, че пресечницата на и ще бъде успоредна на . Това показва, че равнината ще минава през средата на отсечката (фиг. 3). С това задачата е решена.


Фигура 3


За взаимното положение на две прави в пространството има три възможности – правите да са успоредни, да са пресекателни или да са кръстосани. Само когато две прави са кръстосани, не съществува равнина, която ги съдържа. В останалите случаи ъгълът между правите е ъгълът, който те образуват в съответната равнина, която ги съдържа.

Определение: Нека и са кръстосани прави и е произволна точка. Ако и са правите, минаващи през точката и съответно успоредни на и , то .

Може да се провери, че така дефинираният ъгъл не зависи от избора на точката .

В конкретни задачи обаче правилният избор на тази точка съществено опростява някои детайли от решението. Уместно е да избираме точката върху едната от кръстосаните прави.

Пример: Даден е куб . Да се намери ъгъла между правите и .

Решение: Правите и са кръстосани. Правата, минаваща през точката и успоредна на , е правата . Следователно . Но триъгълникът е равностранен, следователно търсеният ъгъл е .

Определение: Две прави в пространството наричаме перпендикулярни, ако сключват прав ъгъл.

Перпендикулярността на две прави записваме по общоприетия начин.

Пример: Даден е правоъгълен паралелепипед . Да се докаже, че .

Решение: Твърдението следва непосредствено от факта, че и .