Теорема 1: Ако една права е перпендикулярна на две пресекателни прави от една равнина, то тя е перпендикулярна на всички прави в тази равнина.

Доказателство: Нека и (фиг. 1). През точката построяваме единствената права . Ще докажем, че правата е перпендикулярна на всички прави от равнината и тогава същото свойство ще има и правата . Ясно е, че и . Да изберем произволна права от . Ако или , то . Остава да разгледаме случая, в който пресича и . Да построим правата през точката така, че . Да построим и в равнината произволна права , която не минава през и която пресича правите съответно в точките . Върху правата да изберем точките и така, че точката да е среда на отсечката (фиг. 1). Тогава триъгълникът е равнобедрен, защото в него отсечката се явява височина по условие и медиана по построение. Същото разсъждение е в сила и за . Но оттук следва, че по трети признак и по първи признак за еднаквост на триъгълници. Тогава , което означава, че е равнобедрен и понеже в него е медиана към основата, то ще е и височина. Това ни дава, че .

Фигура 1

Доказаната теорема ни дава основание да дадем следното определение за перпендикулярност на права и равнина:

Определение: Казваме, че правата е перпендикулярна на равнината , ако е перпендикулярна на всички прави от равнината .

Перпендикулярността на правата и равнината означаваме по обичайния начин: .

Доказаната теорема 1 ни дава достатъчно условие за перпендикулярност на права и равнина – за да докажем, че права и равнина са перпендикулярни, е достатъчно да намерим две пресекателни прави от равнината, на които дадената права е перпендикулярна.

Пример: Правата и равнината са перпендикулярни. Да се докаже, че пробожда .

Решение: Първо, не може да лежи в , защото от определението за перпендикулярни права и равнина би излязло, че , което е невъзможно. Ако допуснем, че , то съгласно доказана теорема следва съществуването на права такава, че . Тогава за правите и едновременно би трябвало да е вярно, че и , което е невъзможно. Щом не лежи в ине е успоредна на , то ясно е, че пробожда .

Теорема 2: Ако и , то .

Тази теорема е просто следствие от предишната.

Теорема 3: През дадена точка в пространството минава единствена равнина, перпендикулярна на дадена права.

Теорема 4: Теорема: Ако права е перпендикулярна на равнина и ако през точка минава права , то .

Доказателство: Щом , то и имат точно една обща точка и нека . Възможни са два случая - и . Нека . Да допуснем, че инека е произволна права в равнината , минаваща през точката . Тогава . Правите и са пресекателни и ако , то . Но тогава получаваме, че през точката минават две различни равнини - и , перпендикулярни на правата , което противоречи на доказаната теорема. Следователно . Ако , то правата и правата са перпендикулярни. Ако допуснем, че , то разглеждайки равнината ще достигнем до противоречие точно както в първия случай.

Теорема 5: През дадена точка в пространството минава единствена права, перпендикулярна на дадена равнина.

Доказателство: Нека и са дадените точка и равнина (фиг. 2). Да изберем произволна точка и през да построим двойка пресекателни прави и , лежащи в . Предишна теорема ни гарантира съществуването на равнината , такава, че и . Аналогично избираме равнината така, че и . Равнините и са различни, защото ако допуснем, че съвпадат, ще излезе че правите и са перпендикулярни на общата права на с , което е невъзможно. Това означава, че и са пресекателни и ако , то . Тогава правата през точката , успоредна на , е търсената. Ако допуснем, че през точката минават поне две различни прави и , перпендикулярни на , ще получим противоречие, защото ще излезе, че в равнината пресечницата на и е перпендикулярна както на , така и на . Изложеното доказателство не зависи от взаимното положение на равнината и точката .

Фигура 2

Пример: Дадени са точка и равнина , . Правата, минаваща през точката и перпендикулярна на равнината , пробожда в точката . Ако точката е произволна и , да се докаже, че .

Решение: Тъй като , то (фиг. 3). Тогава триъгълникът е правоъгълен и неравенството в задачата следва като неравенство между катет и хипотенуза. Определение: Отсечката (фиг. 3) наричаме перпендикуляр от точката към равнината , а точката - пета на този перпендикуляр. Дължината на отсечката наричаме разстояние от точката до равнината .

Фигура 3

Теорема 6: Ако две прави са перпендикулярни на една равнина, то те са успоредни.

Доказателство: Нека правите и са перпендикулярни на равнината . Всяка от двете прави пробожда и нека . През точката минава единствена права . Тогава, съгласно вече доказана теорема, . Съгласно предишна теорема обаче през точката минава единствена права, перпендикулярна на равнината . Това означава, че и понеже , то .

Теорема 7: Ако две равнини са перпендикулярни на една права, то те са успоредни.

Доказателство: Нека равнините и са перпендикулярни на правата и . Да построим двойка пресекателни прави и в равнината , минаващи през точката . Да построим също така и правите и през точката , съответно успоредни на и . Нека . Ясно е, че . Понеже и , то . По същия начин доказваме, че . Но това означава, че . Равнините и са перпендикулярни на правата и минават през точката . Съгласно доказана теорема, . Но тогава .

Теорема 8: Ако правата не лежи в равнината и правата е перпендикулярна на и , то .

Доказателство: През произволна точка от равнината да построим права . Тогава и от доказана теорема следва . Това е достатъчно да твърдим, че .

Теорема 9: Ако права е перпендикулярна на едната от две успоредни равнини, то тя е перпендикулярна и на втората.

Доказателство: Нека правата е перпендикулярна наравнината и равнините и са успоредни (фиг. 4). През пробода на правата с равнината да построим двойка пресекателни прави и , лежащи в (фиг. 4). Тогава и . Нека и . Тогава от успоредността на равнините и следва и . Значи и . Но правите и лежат в равнината и са пресекателни, следователно .

Фигура 4

Пример: Правите и са кръстосани, а правата е тяхна трансверзала. Съществува ли права , която е перпендикулярна на правите и ?

Решение: Нека и . Равнините и са различни (в противен случай и няма да са кръстосани) и са пресекателни, защото тяхната пресечница е правата . Ако допуснем, че съществува права , която е перпендикулярна на правите и , ще следва, че , което е противоречие. Такава права не съществува.

Пример: Да се намери множеството от точки в пространството, намиращи се на равни разстояния от две дадени точки и .

Решение: Върху правата, определена от точките и има единствена точка от търсеното множество и това е средата на отсечката - точката (фиг. 5). Нека точката е от търсеното множество и . Тогава триъгълникът е равнобедрен, откъдето следва, че . Нещо повече, от планиметрията знаем, че в равнината точките от търсеното множество са точките от правата . Нека сега точката е от търсеното множество. С аналогични разсъждения достигаме до извода, че в равнината точките от търсеното множество са точките от правата . Да разгледаме равнината . От направените дотук разсъждения следва, че . Да изберем сега произволна точка от търсеното множество, нележаща на правите и . Ясно е тогава, че . Понеже и , то са налице условията от вече доказана теорема, с помощта на която можем да заключим, че . Следователно всички точки от търсеното множество лежат в равнината . Нека изберем произволна точка и да разгледаме триъгълника , в който е медиана и височина, а това означава, че той е равнобедрен,тоест . Следователно всяка точка от равнината е от търсеното множество. С това задачата е решена – търсеното множество е равнината .

В хода на решението на задачата установихме, че равнината минава през средата на отсечката и е перпендикулярна на нея. Такава равнина се нарича симетрална равнина на (или за) отсечката.

Определение: Равнина, минаваща през средата на една отсечка и перпендикулярна на отсечката, се нарича симетрална равнина на тази отсечка.

Фигура 5