Определение: Нека и са множества от точки в пространството. Правило (съответствие), при което на всяка точка от се съпоставя точка от , се нарича изображение на множеството в множеството .

Определение: Нека е произволна равнина и е произволна точка в пространството. Пресечната точка (фиг. 1) на единствената права през ,перпендикулярна на , с равнината ще наричаме ортогонална проекция на точката в равнината .

Фигура 1

Ортогоналната проекция на всяка точка от е същата точка.

Определение: Изображение, при което на всяка точка в пространството се съпоставя нейната ортогонална проекция , се нарича ортогонално проектиране върху равнината . Равнината се нарича проекционна равнина, а съвкупността от всички прави, перпендикулярни на , се нарича проектиращо направление.

Едно ортогонално проектиране е зададено, ако е посочена проекционната

равнина.

Пример: Разглеждаме ортогонално проектиране върху равнината . Нека са точки, лежащи върху една права, която не е от проектиращото направление. Да се докаже, че ако са ортогоналните проекции на точките при разглежданото ортогонално проектиране, то лежат на една права.

Решение: Ако и трите точки лежат в , всичко е ясно. Нека например . Разглеждаме равнината , определена от правата, върху която лежат и правата (фиг. 2). Понеже и са успоредни на , то, съгласно доказана теорема, следва, че и . Равнините и са пресекателни и понеже и , то тези три точки ще лежат на една права — пресечницата на и .

Фигура 2

Теорема 1: : Ако и са две произволни успоредни прави, които не принадлежат на проектиращото направление, и и са ортогоналните им проекции, то правите и са успоредни или съвпадат.

Доказателство: Да изберем произволни точки и и нека и са техните ортогонални проекции. Нека и . Тогава и , където е проекционната равнина (фиг. 3). Ако , то . Ако , то съгласно условието за успоредност на равнини. Но тогава .

Фигура 3

Теорема 2: Нека точките лежат върху права, която не е от проектиращото направление. Ако успоредните проекции на тези точки са съответно , то .

Следствие: При ортогонално проектиране средата на отсечка, определяща права, която не е от проектиращото направление, се проектира в средата на проекцията на отсечката.

Пример: Точките и не лежат в равнината , а точките и лежат в . Ако точките и са ортогоналните проекции съответно на и върху , да се докаже, че:

а)

б) тогава и само тогава, когато .

Решение:

а) Ако , то неравенството е вярно, защото . Ако , то точките лежат в една равнина, тъй като . Сега неравенството е вярно, понеже четириъгълникът е или правоъгълник, или правоъгълен трапец.

б) всяко от равенствата се явява достатъчно условие за еднаквостта на триъгълниците и (фиг. 4). От тази еднаквост следва и другото равенство.

Фигура 4

Теорема 3: (Теорема за трите перпендикуляра) Правата пресича равнината и не е перпендикулярна на , а правата лежи в равнината . Ако правата е ортогоналната проекция на върху , то тогава и само тогава, когато .

Доказателство: Нека (фиг. 5) и . Нека е ортогоналната проекция на точката в равнината . Тогава , следователно .

• Нека . Тогава . Но понеже и , то . Следователно .
• Нека . Пак по същия начин получаваме, че . Понеже , то .

Фигура 5

Пример: В триъгълната пирамида , . Да се докаже, че ортогоналната проекция на ортоцентъра на триъгълника в равнината е ортоцентърът на триъгълника .

Решение: Нека точката е ортоцентърът на триъгълника и е неговата ортогонална проекция в равнината . Ще разгледаме по-интересния случай, в който точката не съвпада с никоя от точките (фиг. 6). Имаме , но от следва, че . Но щом и , то следва, че . Оттук получаваме, че . Тогава от теоремата за трите перпендикуляра следва, че ортогоналната проекция на правата - правата , също е перпендикулярна на . Аналогично доказваме, че , което е достатъчно да твърдим, че е ортоцентър на триъгълника .

Фигура 6

С помощта на ортогоналното проектиране можем да дефинираме някои разстояния в пространството. Например под разстояние между точка и равнина разбираме разстоянието от точката до ортогоналната и проекция в равнината; под разстояние между успоредни права и равнина разбираме разстоянието от коя да е точка от правата до равнината и под разстояние между успоредни равнини разбираме разстоянието от коя да е точка от едната равнина до другата равнина.

Определение: Правата ще наричаме наклонена към (или за) равнина , ако пробожда и не е перпендикулярна на .

По аналогичен начин можем да говорим и за отсечка, наклонена към равнина – това е отсечка, точно единия край на която лежи в равнината и която не е перпендикулярна на същата равнина.

Определение: Под ъгъл между наклонена и равнина ще разбираме ъгъла между наклонената и ортогоналната и проекция в равнината.

Определение: Триъгълна пирамида, на която всички ръбове са равни, се нарича правилен тетраедър.

Пример: В правилен тетраедър да се намерят ъгълът между околен ръб и равнината на основата и ъгълът между апотема и равнината на основата. Да се сравнят по големина и .

Решение: Нека е даденият тетраедър, в който точките и са съответно среда на и център на основата (фиг. 7). Точката е ортогоналната проекция на точката в равнината на основата (защо?) и следователно . Тогава, ако дължината на ръбовете на тетраедъра означим с , то , понеже тази отсечка е радиус на описаната около окръжност. От правоъгълния триъгълник намираме , с което ъгъла считаме за намерен, защото функцията му косинус го определя еднозначно. Отсечката е апотема в тетраедъра и ортогоналната и проекция върху равнината е отсечката , следователно . Но е височина в равностранен триъгълник със страна , следователно , а отсечката е радиус на вписаната окръжност в и . От правоъгълния триъгълник намираме . От намерените стойности на и получаваме, че , откъдето следва, че .

Фигура 7