Раздел: Стереометрия

Тема: Двустенен ъгъл. Перпендикулярни равнини

Теория

Определение: Множеството от точки в пространството, състоящо се от две полуравнини с общ контур, ще наричаме двустенен ъгъл. Полуравнините ще наричаме стени на двустенния ъгъл, а общия им контур – ръб на двустенния ъгъл.

На фиг. 1 е построен двустенен ъгъл със стени полуравнините и и контур правата .



Фигура 1


Определение: Ъгъл, върхът на който лежи върху ръба на даден двустенен ъгъл, всяко от раменете му лежи в една от стените на двустенния ъгъл и тези рамене са перпендикулярни на ръба на двустенния ъгъл, наричаме линеен ъгъл на двустенния ъгъл.

Може да се каже с други думи, че линеен ъгъл на един двустенен ъгъл е ъгъл, получаващ се при пресичането на двустенния ъгъл с равнина, перпендикулярна на неговия ръб.

Понеже всички линейни ъгли на един двустенен ъгъл са ъгли с взаимно еднопосочни рамене, те са с равни мерки.

Определение: Под мярка на един двустенен ъгъл ще разбираме мярката на кой да е негов линеен ъгъл. Ще казваме, че два двустенни ъгъла са равни, ако имат равни мерки.

Пример: Да се намери двустенният ъгъл между две стени в правилен тетраедър.

Решение: Тъй като всички стени на правилния тетраедър са еднакви помежду си равностранни триъгълници, то всяка от тях може да бъде разглеждана като основа на тетраедъра, тоест няма значение между кои две точно стени на тетраедъра ще определим съответния двустенен ъгъл. Нека в правилния тетраедър (фиг. 2) точката е среда на ръба . Тогава и и е линеен ъгъл на двустенния ъгъл, определен от стените и на тетраедъра. За да определим този ъгъл, да означим дължината на ръбовете на тетраедъра с . Тогава и от косинусовата теорема, приложена за , намираме .


Фигура 2


Определение: Под ъгъл между равнини ще разбираме възможно най-малкия от двустенните ъгли, който те образуват при пресичането си.

Пример: В куб да се намери двустенният ъгъл между равнините и .

Решение: Пресечницата на двете равнини е правата (фиг. 3). Трябва в двете равнини да намерим прави, перпендикулярни на . Нека точката е център на квадрата . Тъй като е равностранен, то . Аналогично понеже е равнобедрен, то . От казаното дотук получаваме, че е линеен ъгъл на един от двустенните ъгли, определени от дадените равнини. И тъй като този ъгъл е остър, то можем да кажем, че е равен на ъгъла между двете равнини. От правоъгълния триъгълник лесно намираме, че .


Фигура 3


Теорема 1: Ако две пресичащи се равнини и сключват ъгъл и ако в равнината лежи многоъгълник с лице , то за лицето на неговата ортогонална проекция в равнината е вярно равенството .

Пример: Основите на правата призма са правоъгълните триъгълници и , в които , а околните ръбове на призмата имат дължина 2. Точката е среда на , а точката лежи върху и е такава, че . Да се намери двустенният ъгъл между равнините и .

Решение: Понеже дадената призма е права, то ортогоналната проекция на триъгълника в равнината на долната основа на призмата е триъгълника (фиг. 4). Ето защо, ако е търсеният ъгъл, то . При това е ясно, че . Остана да намерим . От правоъгълния триъгълник намираме , от правоъгълния триъгълник намираме и от правоъгълния трапец намираме . За лицето на триъгълника получаваме . Замествайки полученото лице в равенството , окончателно получаваме .


Фигура 4


Определение: Две равнини в пространството ще наричаме перпендикулярни, ако образуват прав двустенен ъгъл.

Теорема 2: Ако дадени права и равнина са перпендикулярни, то всяка равнина, която съдържа правата, е перпендикулярна на дадената равнина.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:



Фигура 5


Теорема 3: Ако две равнини са перпендикулярни, то всяка права от едната равнина, която е перпендикулярна на пресечницата на двете равнини, е перпендикулярна на другата равнина.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:



Фигура 6


Теорема 4: Ако две равнини са перпендикулярни на трета, то те или са успоредни, или пресечницата им е перпендикулярна на третата равнина.

Щракни тук, за да видиш доказателството Доказателство:

  • Първи случай: . Но тогава в равнините и има двойки пресекателни прави, които са съответно успоредни, а оттук следва, че .
  • Втори случай: и са пресекателни. Тогава и също са пресекателни и ако , то . Но и са перпендикулярни на , следователно .



Фигура 7