Раздел: Стереометрия

Тема: Многостени. Призми

Теория

Определение: Множество от краен брой многоъгълници, ограничаващи част от пространството така, че всяка страна на кой да е многоъгълник е страна на точно един друг многоъгълник, се нарича многостен.

Основни елементи на един многоъгълник са неговите върхове, ръбове и стени. На фиг.1 са построени няколко различни многостена.



Фигура 1


Най-важните числови характеристики за всеки многостен са лицето на повърхнината и обемът му.

Определение: Лице на повърхнина на многостен е сборът от лицата на стените му.

Понятието обем ще дефинираме за конкретни многостени.

Определение: Многостен, на който две от стените са еднакви ъгълници, лежащи в успоредни равнини, а останалите му стени са успоредници, се нарича ъгълна призма. Двата многоъгълника, лежащи в успоредните равнини, се наричат основи на призмата, а останалите стени се наричат околни стени на призмата. Страните на двете основи на призма наричаме нейни основни ръбове. Останалите ръбове на призмата се наричат околни ръбове. Околните ръбове на всяка призма са равни и успоредни отсечки. Всяка отсечка с краища два от върховете на призмата, нележащи в коя да е стена, наричаме диагонал на призмата.

Пример: За дадената на фиг. 2. триъгълна призма да се запишат основните и околните и ръбове, основите и околните и стени и диагоналите и.

Решение: Основните ръбове на призмата са отсечките и . Околните ръбове на призмата са отсечките и . Основи на призмата са триъгълниците и , а околните и стени са успоредниците и . Триъгълната призма няма диагонали, понеже всяка отсечка с краища два от върховете и лежи в някоя от стените на призмата.



Фигура 2


Определение: Призма, в която околен ръб е перпендикулярен на основа, се нарича права.

Определение: Призма, която не е права, се нарича наклонена

Определение: Права призма, на която основите са правилни многоъгълници, наричаме правилна.

Определение: Сборът от лицата на околните стени на призма наричаме лице на околната и повърхнина.

За лицето на околната повърхнина на една призма е вярно равенството , където е периметъра на основата и, а е височината на призмата, тоест разстоянието между успоредните равнини, в които лежат двете и основи.

Обемът на призма можем да намерим по формулата , където е лицето на основата, а е височината на призмата.

Определение: Ако равнина е перпендикулярна на околен ръб на призма и пресича всички околни ръбове на призмата, то общите точки на тази равнина и околните ръбове на призмата са върхове на многоъгълник, който се нарича перпендикулярно сечение на призмата.

Триъгълникът на фиг. 3. е едно перпендикулярно сечение на триъгълната призма



Фигура 3


Лицето на околната повърхнина на призма може да бъде пресметнато по формулата , където е околния ръб, а е периметърът на перпендикулярно сечение на призмата.

Обемът на призма може да се намери по формулата , където е околния ръб, а е лицето на перпендикулярно сечение на призмата.

Определение: Призма, на която основите са успоредници, се нарича паралелепипед. Паралелепипед, на който околен ръб е перпендикулярен на основа, се нарича прав паралелепипед. Прав паралелепипед, основите на който са правоъгълници, се нарича правоъгълен паралелепипед.

Пример: За правоъгълен паралелепипед с основни ръбове и околен ръб да се намерят диагоналите, лицето на околната повърхнина, лицето на повърхнината и обемът.

Решение: Нека (фиг. 4) е правоъгълен паралелепипед, в който и . Паралелепипедът (както и всяка четириъгълна призма) има четири диагонала – отсечките и . От еднаквостта на правоъгълните триъгълници и следва равенството на диагоналите на паралелепипеда. Дължината на кой да е от тях можем да намерим с Питагоровата теорема от кой да е от разгледаните триъгълници. Ще получим, че диагоналите на паралелепипеда са равни на . По-нататък, лицето на околната повърхнина е равно на , а лицето на повърхнината получаваме, като към добавим лицата на двете основи. Следователно лицето на повърхнината на паралелепипеда е , а обемът има стойност .



Фигура 4


Пример: Диагоналът на правоъгълния паралелепипед сключва със стените на паралелепипеда, съдържащи точката , ъгли съответно и . Да се докаже, че .

Решение: Нека диагоналът сключва със стената ъгъл ; от правоъгълния триъгълник имаме тогава, че . Или, ако запазим означенията от предишния пример, . Аналогично, ако , то . По същия начин получаваме, че , откъдето следва исканото в задачата.