Раздел: Числа

Тема: Основни числови множества

Теория

Основните числови множества, с които сме работили в училищния курс по математика, са:

  • Множеството на естествените числа ;
  • Множеството на целите числа ;
  • Множеството на рационалните числа , състоящо се от всички числа, които могат да бъдат записани като несъкратима обикновена дроб;
  • Множеството на ирационалните числа ;
  • Множеството на реалните числа .

Да отбележим, че , тоест множеството на естествените числа е подмножество на множеството на целите числа. Тъй като всяко цяло число може да се запише като обикновена дроб със знаменател 1, то . Множествата на рационалните и ирационалните числа нямат общ елемент, тоест .

Между реалните числа и точките от числовата ос съществува взаимно еднозначно съответствие: на всяко реално число отговаря точно една точка от числовата ос и обратно, на всяка точка от числовата ос съответства точно едно реално число.

Всяко реално число може да бъде записано като десетична дроб. При това:

  • Всяко рационално число се записва чрез крайна или безкрайна периодична десетична дроб;
  • Всяко ирационално число се записва чрез безкрайна непериодична десетична дроб.

Вярно е и обратното, в смисъл, че всяка крайна или безкрайна периодична десетична дроб представя точно едно рационално число, а всяка безкрайна непериодична десетична дроб отговаря на точно едно ирационално число. За записването на една периодична десетична дроб като обикновена може да се използва формулата:

, в която:

е произволно естествено число, са групата от цифри, която не се повтаря, са групата от цифри, образуващи периода на дробта, а и са естествените числа, записани с посочените цифри.

Някои от алгебричните действия и операции, извършвани в някое от основните числови множества, винаги дават резултат от същото множество, докато с други това не е така. Например, ако и , то , ако и , то . Но ако , то не винаги е цяло число, ако , то не винаги е рационално число.

Необходимостта винаги да е възможно да извършим някое действие или операция довежда до разширяването на числовите множества. Например разликата на две естествени числа не винаги е естествено число, но винаги е цяло число. Частното на две цели числа не винаги е цяло число, но винаги е рационално число. Идеята да се разшири обхватът на действието коренуване и върху отрицателните реални числа довежда до появата на числово множество, съдържащо в себе си множеството на реалните числа, а именно множеството на комплексните числа. Знаем, че уравнението няма реални корени. Ако разгледаме число , такова, че , то . Ойлер нарича това число имагинерна единица (тоест въображаема единица). Тогава всички числа от вида , където образуват множеството на комплексните числа. Ако числото отъждествим с реалното число , можем да считаме, че .

В най-различни ситуации от практиката и науката се налага да се извършват действия с реални числа, записани като безкрайни десетични дроби или като крайни десетични дроби с голям брой цифри. В повечето такива случаи предварително извършваме закръгляване на участващите в действията числа в зависимост от желаната точност на крайния резултат. Закръгляването на числата извършваме по правила, познати ни от предишни класове. По принцип закръгляването се извършва с точност, с един разред по-голяма от желаната точност на крайния резултат.

Пример: Вярно ли е, че:

а) Ако и , то ;
б) Ако и , то ;
в) Ако и , то ?

Решение:

а) Не е вярно. Например и .
б) Вярно е. Щом , то за някакви цели числа . Тогава .
в) Не е вярно. Например , но .

Пример: Да се представи с десетична дроб числото

а)
б) .

Решение: Извършваме делението на числителя и знаменателя на дадената дроб по познатото ни правило:

а)
32 : 25 = 1,28
-25
-------
70
-50
---------
200
-200
------------
0
 
б)
80: 11 = 0,7272
-77
------
30
-22
------
80
-77
-------
30
Следователно и .

Пример: Да се запише като несъкратима обикновена дроб числото:

а) 0,702  
б) 1,2(09)
в) -3,(7)
г) 0, 02(003)

Решение:

а) Имаме .
б) Ще използваме формулата посочена по-горе в текста. Имаме . Тогава .
в) Пак по същата формула получаваме: , защото непериодичната група от цифри липсва и във формулата навсякъде се заменя с 0. Следователно .
г) Отново с помощта на формулата получаваме .

Пример: Числото е получено, като след десетичната му запетая са записани последователно всички естествени числа. Да се докаже, че .

Решение: Трябва да покажем, че десетичната дроб, равна на , не е периодична. Ясно е, че ще съдържа безброй много цифри, различни от нула. От друга страна, ако допуснем, че дължината на периода на е , то някъде в записа на , по-точно там, където се появява числото ще има повече от последователни нули, а не е възможно периода на да има само нули.

Пример: Да се пресметне, с помощта на калкулатор или друга изчислителна техника, с точност до 0,01, стойността на израза .

Решение: Пресмятаме последователно, че . Тогава .