В 10 клас разгледахме свойствата на действието степенуване в случая, когато степенният показател е рационално число. Да си ги припомним:

Теорема 1: Нека са реални положителни числа и са цели числа. Верни са равенствата:

а) ;

б) при ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

Действието степенуване допуска разширение в смисъл, че може да бъде дефинирано и в случая, когато степенният показател е ирационално число. Основание за такова разширение ни дава следната

Теорема 2: Нека е реално число и е ирационално число. Съществува единствено реално число , такова, че за всеки две рационални числа , между които се намира , числото се намира между и .

Числото от тази теорема възприемаме като степен на числото със степенен показател , тоест .

Пример: Да пресметнем няколко цифри на числото , записано като десетична дроб. Като използваме теоремата, както и свойствата на степените с основа , можем да запишем неравенствата , тоест , , откъдето с помощта на калкулатор пресмятаме, че , аналогично , откъдето и така нататък.

Важно е да отбележим, че свойствата на действието степенуване, които познаваме от 10 клас и припомнихме по-горе, се запазват и в случая, когато степенните показатели са реални числа. Също така може да се покаже, че са налице следните важни неравенства:

Теорема 3: Нека и са реални числа. Тогава:

• Ако , то ;
• Ако , то .

Пример: Да се докаже, че:

а)

б) .

Решение:

а) ;

б) и . От следва исканото.

В 10 клас се запознахме и с понятието логаритъм и действието логаритмуване.

Теорема 4: Нека е положително реално число, различно от 1 и е положително реално число. Уравнението има единствено реално решение.

Определение: Ако и са реални числа, то единственият корен на уравнението наричаме логаритъм на числото при основа и означаваме с .

Специални означения въвеждаме за логаритмите с основа 10, като вместо записваме и за така наречените Неперови или натурални логаритми, които означаваме с . Основа на натуралните логаритми е константата , която е известна в математиката с името Неперово число. Това е константата, към която се приближават стойностите на израза при много големи положителни стойности на . В 10 клас доказахме и най-важните свойства на логаритмуването.

Теорема 5: Нека и са реални числа. Верни са равенствата:

а) за всяко ;

б) за всяко реално ;

в) за всеки ;

г) за всеки ;

д) за всяко и всяко ;

е) за всяко .

ж) ;

з) .

Да добавим също така, че можем да сравняваме логаритми по големина.

Теорема 6: Нека и са реални числа. Тогава:

• Ако , то ;
• Ако , то .

Пример: Да се пресметне стойността на израза .

Решение: .

Пример: Да се докаже, че ако и , то .

Решение: Имаме .

Пример: Да се докаже, че е ирационално число.

Решение: Да допуснем, че е рационално число. Тогава , където и са взаимно прости цели числа. Понеже , можем да считаме, че и са естествени и че . Равенството можем да запишем във вида . Последното равенство е невъзможно, тъй като в лявата му страна стои нечетно, а в дясната четно число. Полученото противоречие показва, че .

Пример: Да се сравнят по големина числата и .

Решение: Имаме и . Понеже , то .

Пример: Да се намери дефиниционното множество на израза .

Решение: Основата на един логаритъм е положително число, а аргументът му е положително число. Даденият израз е определен за онези стойности на , които са решения на системата . Оттук получаваме, че дефиниционното множество на дадения израз е .

Пример: Да се реши уравнението .

Решение: Записваме даденото уравнение във вида .

Пример: Да се докаже тъждеството .

Решение: .

Пример: Да се реши уравнението .

Решение: Имаме .