Раздел: Уравнения и неравенства

Тема: Параметрични квадратни уравнения

Теория

Всяко параметрично квадратно уравнение може да бъде записано във вида , където е неизвестно, а и са изрази, в които не участва неизвестното и в поне единия от тях участва параметър.

Схема за решаване на квадратното параметрично уравнение :



Фигура 1


Пример: Да се реши уравнението , в което е параметър. При , тоест при получаваме линейното уравнение с решение . При намираме, че дискриминантата на квадратното уравнение е равна на . Оттук при уравнението няма реални корени, при уравнението има един двоен реален корен , а при и уравнението има два различни реални корена .

Пример: Да се намерят стойностите на параметъра , за които уравнението има два различни реални корена, които са положителни числа. Коефициентът пред - изразът е положителен за всяка стойност на параметъра . От 9 клас знаем, че знаците на корените на едно квадратно уравнение се определят с помощта на формулите на Виет. Исканото в задачата ще бъде изпълнено точно тогава, когато . Окончателно, търсените стойности на са .

Пример: За кои стойности на параметъра уравнението има два различни реални корена, които са с различни знаци? Да припомним, че необходимото и достатъчно условие уравнението да има два корена с различни знаци е да бъде изпълнено неравенството . В конкретната задача това ни води до неравенството с решение .