Раздел: Уравнения и неравенства

Тема: Някои задачи за квадратни неравенства с параметър

Теория

Теорема 1: Неравенството е вярно за всяко число точно тогава, когато , където е дискриминантата на квадратния тричлен .

Теорема 2: Неравенството няма решение точно тогава, когато , където е дискриминантата на квадратния тричлен .

Теорема 3: Неравенството е вярно за всяко число точно тогава, когато , където е дискриминантата на квадратния тричлен .

Теорема 4: Неравенството няма решение точно тогава, когато , където е дискриминантата на квадратния тричлен . Неравенствата от вида и можем да сведем до разгледаните след умножаване на двете им страни с отрицателно число.

Пример: За кои стойности на параметъра неравенството няма решение? При получаващото се линейно неравенство има решение. При намираме, че дискриминантата на квадратния тричлен е равна на . Търсените стойности на параметъра , съгласно теорема 2, ще са решенията на системата , тоест .

Пример: За кои стойности на параметъра неравенството е вярно за всяко число? При исканото в задачата не е изпълнено. При записваме неравенството във вида и прилагаме теорема 3, от която получаваме системата , следователно . Понеже тази система няма решение, то няма и стойности на параметъра, за които е изпълнено исканото в задачата.

Пример: За кои стойности на параметъра дефиниционното множество на функцията е всяко реално число? Исканото в задачата ще бъде изпълнено точно тогава, когато неравенството е вярно за всяко число. Проверката показва, че е решение на задачата. При прилагането на теорема 3 ни води до системата . Окончателно, търсените стойности на параметъра са .