Раздел: Функции

Тема: Функция. Основни свойства на функциите.

Теория

Определение: Казваме, че е зададена числовата функция , ако са дадени числовите множества и и правило (съответствие), при което на всяко число се съпоставя точно едно число . Множеството наричаме дефиниционно множество на функцията и всяко число от това множество наричаме аргумент на . Числата от множеството наричаме функционални стойности. Всички числа образуват числово множество (което е някакво подмножество на ), което наричаме множество от стойности на функцията .

От осми клас познаваме някои основни начини за задаване на функция:

  • Описателен

Пример: На всяко естествено число съпоставяме цифрата на единиците му. По този начин получаваме една числова функция, на която дефиниционното множество е множеството на естествените числа.

  • Табличен

Пример: В края на всяка учебна година класният ръководител на всеки клас изготвя сведение за годишния успех на учениците от неговия клас под формата на таблица. Ето как изглежда тази таблица за един клас със 17 ученика.
Номер на ученика 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Среден успех 5,64 5,88 5,4 5,28 5,88 5,76 5,4 5,76 6 4,78 5,03 5,4 5,88 5,4 5,76 5,64 6
Можем да кажем, че тази таблица задава една функция с дефиниционно множество от номерата на учениците в съответния клас.

  • Аналитичен – най-често използвания начин за задаване на функция. Казваме, че една функция е зададена аналитично, ако функционалното съответствие се задава с помощта на формула.

Пример: Да разгледаме функцията . Тук формулата показва, че на всяко число от дефиниционното множество на функцията се съпоставя числото от множеството от стойностите на функцията .

В случая, когато една функция е зададена аналитично, формулата, задаваща функционалното съответствие, има свое множество от допустими стойности.

Дефиниционното множество на функцията е някакво подмножество на това множество от допустими стойности. Ако в някоя задача не се прави изрично уточнение, се счита, че двете множества съвпадат.

Пример: Дадена е функцията .

а) Да се намери дефиниционното множество на функцията;
б) Да се провери дали числото 3 е стойност на функцията .

Решение:

а) Съгласно направената по-горе уговорка, след като липсва уточнение за дефиниционното множество на функцията, считаме, че то съвпада с множеството от допустими стойности на израза . Следователно търсеното дефиниционно множество се състои от решенията на системата , които са .
б) Числото 3 е стойност на функцията точно тогава, когато съществува такова число от дефиниционното и множество, за което , в случая ако уравнението има решение. След повдигане в квадрат получаваме и след още едно повдигане в квадрат достигаме до квадратното уравнение с корени и . Вече не е трудно да се провери, че , следователно числото 3 е стойност на дадената функция.

Пример: За функцията да се пресметнат и .

Решение: Имаме и .

Има и още един основен начин да бъде зададена една функция – графичния.

Определение: Ако е произволна функция, то множеството от точки в една координатна система, където е произволно число от дефиниционното множество на функцията, наричаме графика на функцията .

В много ситуации в математиката и практиката за свойствата на една функция можем да получим информация от нейната графика. На фигура 1 е показана графиката на функцията с дефиниционно множество .



Фигура 1


Пример: Върху графиката на функцията да се намерят точките:

а) с абсциса 1;  
б) с ордината

Решение:

а) Числото 1 не е от дефиниционното множество на дадената функция, следователно върху графиката и няма точка с абсциса 1.
б) Ако точката е от графиката на функцията и ординатата и е , то трябва да е изпълнено равенството , от което получаваме , откъдето или . Следователно върху графиката на функцията има две точки с дадената ордината, а именно и .

Пример: Да се намерят общите точки на графиките на функциите и .

Решение: Абсцисите на търсените общи точки са решенията на уравнението , което в случая ни води до с корени и . Понеже , то обща точка за двете графики е точката . Аналогично намираме и другата обща точка, а именно .