Раздел: Функции

Тема: Линейна функция. Квадратна функция.

Теория

Линейна функция

Аналитичен вид:

Дефиниционно множество:

Множество от стойности: При ; при е константата .

Графика: права линия, пресечната и точка с ординатната ос е точката , при , пресечната и точка с абсцисната ос е точката , а при графиката е успоредна на абсцисната ос или съвпада с нея.

Монотонност: При линейната функция е растяща, тоест , а при линейната функция е намаляваща, тоест .

Квадратна функция

Аналитичен вид:

Дефиниционно множество:

Множество от стойности: При , . Функцията има най-малка стойност . При . Функцията има най-голяма стойност .

Графика: парабола, пресечната и точка с ординатната ос е точката . Ако е дискриминантата на квадратния тричлен , то при параболата и абсцисната ос нямат общи точки, при параболата и абсцисната ос имат една обща точка с координати , а при параболата пресича абсцисната ос в точките и , където и са корените на уравнението . Точката с координати наричаме връх на параболата.

Монотонност: При квадратната функция е намаляваща в интервала и растяща в интервала . При квадратната функция е растяща в интервала и намаляваща в интервала .

Пример: Да се построи графиката на функцията . Ако тази графика пресича координатните оси и съответно в точките и , да се пресметне лицето на триъгълника , където е началото на координатната система.

Решение: Решение: Тъй като графиката на линейната функция е права линия, за да построим тази права, е достатъчно да имаме две точки от нея. Такива две точки можем да намерим, като изберем две произволни стойности на аргумента и пресметнем съответните стойности на функцията. Например и , следователно точките и са от графиката на функцията. В частност, . Построяваме правата през точките и - това е графиката на дадената функция. Координатите на точката са . Триъгълникът е правоъгълен с катети и , следователно за лицето му получаваме .

Пример: Да се намери линейна функция, чиято графика минава през точките и . За коя стойност на точката лежи върху графиката на намерената функция?

Решение: Търсим линейната функция във вида . Числата и определяме от равенствата и . Тези равенства ни водят до системата с решение и . Следователно . Точката лежи върху графиката на функцията точно когато .

Пример: Графиката на функцията , където е положително число, пресича ординатната ос в точката и графиката на функцията в точката . Да се намери , ако , където е началото на координатната система.

Решение: Координатите на точката са , абсцисата на точката е решението на уравнението . Тогава . Да отбележим сега, че височината от върха на триъгълника е равна на абсцисата на точката и че . Тогава . Получаваме уравнението , чийто единствен положителен корен е .

Пример: Да се построи графиката на функцията .

Решение: Намираме някои характерни точки от графиката на дадената функция. Върхът на параболата ще има абсциса и ордината , тоест ще е точката с координати (2;1). Графиката ще пресича ординатната ос в точката (0;-3). Намираме и пресечните точки на графиката с абсцисната ос (ако съществуват) чрез решаване на уравнението . В разглеждания случай тези точки са (1;0) и (3;0). В зависимост от желаната точност на построяване на графиката можем да пресметнем координатите и на други точки от нея. Видът на графиката е показан на фигура 1.


Фигура 1


Пример: Да се намери квадратна функция, чиято графика минава през точките (-1;-3); (1;1) и (2;4).

Решение: Търсената функция има вида , където и са реални числа. Ще намерим тези числа от равенствата и . Равенството можем да запишем във вида . От другото равенството следва . Числото намираме от равенството и получаваме, че . Тогава и търсената функция е .

Пример: За кои стойности на най-малката стойност на функцията в интервала е равна на .

Решение: Дадената функция е растяща в интервала и намаляваща в интервала . Най-малката стойност на функцията в интервала зависи от разположението на този интервал относно интервалите и . Разглеждаме три случая:  

I случай. . Тогава интервалът се съдържа в интервала и намалява за . Следователно най-малката стойност на в този интервал е . Получаваме уравнението с решение . Понеже 0<1, то намерената стойност на е решение на задачата.

II случай. . Тогава намалява в и расте в . Най-малката стойност на тогава е . Уравнението няма решение.

III случай. . Както в предишните два случая намираме, че тук най-малката стойност на в е . Уравнението има решение . Понеже 6>5, то намерената стойност на е решение на задачата.