Раздел: Функции

Тема: Тригонометрични функции

Теория

Функцията

Дефиниционно множество:

Множество от стойности:

Периодичност: за всяко

Четност: за всяко , тоест функцията е нечетна

Монотонност: Растяща във всеки от интервалите и намаляваща във всеки от интервалите Най-малка и най-голяма стойности: Най-малка стойност (-1) при , най-голяма стойност 1 при .

Графика: Синусоида (фиг. 1). Пресечни точки на графиката с абсцисната ос са точките . Пресечна точка на графиката с ординатната ос е точката .

Фигура 1


Функцията

Дефиниционно множество:

Множество от стойности:

Периодичност: за всяко

Четност: за всяко , тоест функцията е четна

Монотонност: Растяща във всеки от интервалите и намаляваща във всеки от интервалите Най-малка и най-голяма стойности: Най-малка стойност (-1) при , най-голяма стойност 1 при .

Графика: Косинусоида (фиг. 2). Пресечни точки на графиката с абсцисната ос са точките . Пресечна точка на графиката с ординатната ос е точката .

Фигура 2


Функцията

Дефиниционно множество:

Множество от стойности:

Периодичност: за всяко от дефиниционното множество на функцията

Четност: , тоест функцията е нечетна

Монотонност: Растяща във всеки от интервалите Най-малка и най-голяма стойности: Няма

Графика: Тангенсоида (фиг. 3). Пресечни точки на графиката с абсцисната ос са точките . Пресечна точка на графиката с ординатната ос е точката .

Фигура 3


Функцията

Дефиниционно множество:

Множество от стойности:

Периодичност: за всяко от дефиниционното множество на функцията

Четност: , тоест функцията е нечетна

Монотонност: Намаляваща във всеки от интервалите Най-малка и най-голяма стойности: Няма

Графика: Котангенсоида (фиг. 4). Пресечни точки на графиката с абсцисната ос са точките . Графиката няма обща точка с ординатната ос.

Фигура 4


Пример: Точката с абсциса лежи върху графиката на функцията . В кой квадрант лежи точката ?

Решение: Пресмятаме . Точката има положителна абсциса и отрицателна ордината, следователно лежи в трети квадрант.

Пример: Колко решения има уравнението в интервала ?

Решение: Във всеки интервал от вида функцията приема като стойности всички реални числа по веднъж, следователно даденото уравнение ще им по един корен. Получаваме, че даденото уравнение има общо 1000 корена.

Пример: Да се намерят най-малката и най-голямата стойности на функцията с дефиниционно множество .

Решение: Когато нараства, приемайки стойности в интервала , функцията нараства от до 1, а когато приема стойности от до , функцията намалява от 1 до . Понеже , то при . Така, ако означим , задачата се свежда до намирането на най-малката и най-голямата стойности на функцията , когато . Понеже , то функцията расте при и следователно и .

Пример: Да се сравнят по големина числата и .

Решение: Аргументите на дадените две тригонометрични функции са в радиани, тъй като липсва означението за градус. От неравенствата следва, че и , откъдето .

Пример: Да се намерят стойностите на параметъра , за които уравнението има решение в интервала .

Решение: Понеже при , то можем да запишем даденото уравнение във вида , откъдето получаваме . При уравнението няма решение. Нека . Тогава можем да запишем даденото уравнение във вида и да отбележим, че при функцията приема като стойности всички положителни числа. Следователно търсените стойности на параметъра са решенията на неравенството , тоест .