Идете в началото

Лихва

Едно от основните приложения на прогресиите е пресмятането на лихви, ренти и вноски за погасяване на заеми.

Лихва

Възнаграждението, което се изплаща за използването на определена парична сума (капитал) за даден период от време, се нарича лихва.

Обикновено лихвата се изчислява за даден период от време като процент от капитала. Даденият период от време се нарича лихвен период, а процентът лихвен процент.

Проста лихва

Лихвата, която се изплаща, когато в края на всеки лихвен период се олихвява само първоначалната сума (начален капитал или главница), се нарича проста лихва.

Ако K е началният капитал и p е лихвеният процент, то лихвата и нарасналият капитал за n периода се пресмятат по формулите:

и .

Така се получава редицата:

Редицата е аритметична прогресия с нулев член K (при някои редици за удобство се започва с нулев член, който се получава при ) и разлика .

Лихвеният процент р обикновено се задава за период от една година и се нарича годишен лихвен процент или само лихвен процент. Олихвяването обаче може да става и на по-малки периоди от време. Ако олихвяването се извършва всеки месец, то в горната формула множителят (р е годишният лихвен процент) се заменя с . Пресмятанията обикновено се извършват с калкулатор.

Пример 1. Заем от 3000 лв. се изплаща за 5 месеца при 12% годишна проста лихва. Каква сума трябва да се изплати на края на петия месец?

Имаме . Трябва да се изплатят 3150 лв.

Пример 2. Ако искате да постигнете 10% годишна печалба от инвестиция, каква сума (с точност до 0,01 лв.) би трябвало да заплатите за книжа, които след 9 месеца биха донесли 8000 лв.?

Търсим началния капитал К при , (за период от 9 месеца).

Имаме , или лв.

Пример 3. Какъв годишен процент печалба ще се постигне, ако се платят 3000 лв. за книжа, които след 6 месеца биха донесли 3300 лв.?

Търсим годишния лихвен процент р при лв., лв.

Имаме , , откъдето .

Понякога се използват и по-малки периоди на олихвяване, например дни. Финансовите институции обикновено използват 360-дневна година, но понякога се използва и 365-дневна година. Навсякъде по-нататък при изчисленията ще използваме 360 - дневна година.

Пример 4. Полица има срок на погасяване 270 дни и стойност 2500 лв. при 10% годишна проста лихва. (Това означава, че след 270 дни са платими главницата от 2500 лв. и лихвата.) Ако след 150 дни полицата се продаде за 2600 лв., какъв процент годишна печалба би постигнал новият купувач?

Първо ще пресметнем каква сума ще донесе полицата след изтичане на 270-дневния период: лв.

Сега трябва да намерим каква печалба би се реализирала за 120 дни ако сума от 2600 лв. нарасне на 2687,50 лв.:

, .

Най-често лихвата се прибавя към основния капитал и се олихвява заедно с него в края на следващия период.

Сложна лихва

Лихвата се нарича сложна, когато в края на всеки лихвен период се прибавя към основния капитал и се олихвява заедно с него в края на следващия период.

Основната задача при сложна лихва, която възниква в практиката, е изчисляването на крайната сума, която се получава след определен брой периоди.

Формула за сложна лихва

Ако К е началният капитал, р е лихвеният процент и n е броят на периодите на олихвяване, то нарасналият капитал след изтичане на n периода се пресмята по формулата:

.

Доказателство

В таблицата по-долу можете да проследите и сравните как се изменя началният капитал при проста и сложна лихва в продължение на 12 години. От диаграмата се вижда много добре, че при сложна лихва, понеже редицата от сумите образува геометрична прогресия, нарастването е експоненциално. Може да сменяте лихвения процент или/и началния капитал, за да видите как се изменят съответните суми. Кликнете тук, за да отворите таблицата.

Пресмятанията по формулата за сложна лихва обикновено се извършват с калкулатор. Навсякъде в следващите примери се предполага, че е даден годишен лихвен процент и лихвата е сложна.

Пример 5. Родители внесли за десетия рожден ден на детето си 4000 лв. при сложна лихва 4%. Каква ще бъде сумата, когато детето навърши 18 години?

При , се получава

.

След 8 години нарасналата сума е 5474,28 лв.

Пример 6. Каква сума трябва да се внесе при 5% сложна лихва, за да се получат след 5 години 10 000 лв.?

Ако , , намираме , лв.

Трябва да се внесат 7835,26 лв.

Пример 7. При какъв лихвен процент (с точност до 0,1%) началният капитал K ще нарасне 1,5 пъти за 6 години?

От следва .

При и намираме .

Следователно .

Пример 8. За колко години сума от 3300 лв. ще нарасне на 4000 лв. при сложна лихва 5%?

От следва , и .

При , и намираме .

Следователно 4000 лв. ще се получат приблизително след 4 години.

Често капитализирането на лихвата се извършва на периоди, по-малки от една година. В такъв случай годишният лихвен процент се намалява толкова пъти, колкото пъти периодът е по-малък от една година. Например при годишен лихвен процент 3% и месечно капитализиране на лихвата всеки месец капиталът се олихвява с .

В таблицата по-долу можете да проследите и сравните как се изменя началният капитал при проста и сложна лихва в продължение на 12 месеца. Може да сменяте лихвения процент или/и началния капитал, за да видите как се изменят съответните суми. Кликнете тук, за да отворите таблицата.

В следващата таблица и диаграма можете да видите как се изменя лихвата при даден лихвен процент в зависимост от това дали лихвата е сложна или проста и в зависимост от това на какви периоди се извършва капитализирането. Можете да променяте годишния лихвен процент, сумата, която се олихвява, и периода (в години) на олихвяване. Кликнете тук, за да отворите таблицата.

Пример 9. В банка са вложени 1500 лв. на срочен месечен депозит при годишен лихвен процент 3,6%. Каква ще бъде сумата след 18 месеца?

, и месечният лихвен процент е .

Имаме .

След 18 месеца сумата ще е 1583,10 лв.